[tex]\dfrac{1}{\cos2022x} +\mathrm{tg}\,2022x=\dfrac{1}{2022}[/tex]

Обозначим искомое выражение некоторой буквой:

[tex]\dfrac{1}{\cos2022x} -\mathrm{tg}\,2022x=A[/tex]

Перемножим левые и правые части этих двух выражений:

[tex]\left(\dfrac{1}{\cos2022x} +\mathrm{tg}\,2022x\right)\left(\dfrac{1}{\cos2022x} -\mathrm{tg}\,2022x\right)=\dfrac{1}{2022}\cdot A[/tex]

В левой части применяется формула разности квадратов:

[tex]\dfrac{1}{\cos^22022x} -\mathrm{tg}^2\,2022x=\dfrac{A}{2022}[/tex]

Тангенс представим в виде отношения синуса к косинусу:

[tex]\dfrac{1}{\cos^22022x} -\dfrac{\sin^22022x}{\cos^22022x}=\dfrac{A}{2022}[/tex]

[tex]\dfrac{1-\sin^22022x}{\cos^22022x}=\dfrac{A}{2022}[/tex]

В соответствии с основным тригонометрическим тождеством получим:

[tex]\dfrac{\cos^22022x}{\cos^22022x}=\dfrac{A}{2022}[/tex]

[tex]1=\dfrac{A}{2022}[/tex]

Значит:

[tex]A=2022\Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{\cos2022x} -\mathrm{tg}\,2022x=2022}[/tex]

Ответ: 2022