Ответ:

Сумма ряда:

[tex]\boldsymbol{\boxed{\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 2^{\circ} + \ldots +\cos^{2} 89^{\circ} = 44,5}}[/tex]

Примечание:

Формула приведения:

[tex]\boxed{\sin \alpha = \cos(90^{\circ} - \alpha )} \Longrightarrow \sin^{2} \alpha = \cos^{2}(90^{\circ} - \alpha )[/tex]

Основное тригонометрическое тождество:

[tex]\boxed{\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Таким образом в сумме [tex]\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 2^{\circ} + \ldots +\cos^{2} 89^{\circ}[/tex] можно к примеру выбрать слагаемое [tex]\cos^{2} 1^{\circ}[/tex] и [tex]\cos^{2} 89^{\circ}[/tex], тогда:

[tex]\sin^{2} 1^{\circ} = \cos^{2}(90^{\circ} -1^{\circ} ) = \cos^{2} 89^{\circ}[/tex], таким образом:

[tex]\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 89^{\circ} =\cos^{2} 1^{\circ} + \sin^{2} 1^{\circ} =1[/tex].

Тогда выбирая пары 2° и 88°, 3° и 87° и так далее аналогичным образом получим, что сумма квадратов косинусов от данной пары углов равна 1.

Всего в сумме 89 косинусов, тогда возможно составить 44 пары, так как [89 : 2] = 44, а числу 45° пары не хватит, таким образом:

[tex]\cos^{2} 1^{\circ} + \cos^{2} 2^{\circ} + \ldots +\cos^{2} 89^{\circ} = 44 \cdot 1 + \cos^{2} 45^{\circ} = 44 + \bigg(\dfrac{\sqrt{2} }{2} \bigg)^{2} =[/tex]

[tex]= 44 + \dfrac{2}{4} = 44 + 0,5 = 44,5[/tex].

#SPJ1