Ответ:

cos(5x)-sin(5x)

Пошаговое объяснение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на [tex]cos(5x)-sin(5x)[/tex], получим:

[tex]\frac{\cos(10x)}{\cos(5x)+\sin(5x)}=\frac{\cos(10x)\cdot(cos(5x)-sin(5x))}{(\cos(5x)+\sin(5x))\cdot(cos(5x)-sin(5x))}[/tex]

Соберём разность квадратов(a^2 - b^2= (a+b) * (a-b)) в знаменателе:

[tex]\frac{\cos(10x)\cdot(cos(5x)-sin(5x))}{(\cos(5x)+\sin(5x))\cdot(cos(5x)-sin(5x))}=\frac{\cos(10x)\cdot(cos(5x)-sin(5x))}{\cos^2(5x)-\sin^2(5x)}[/tex]

Теперь вспомним, что cos^2(x)-sin^2(x) = cos(2x) и соберём косинус двойного угла в знаменателе:

[tex]\frac{\cos(10x)\cdot(cos(5x)-sin(5x))}{\cos^2(5x)-\sin^2(5x)}=\frac{\cos(10x)\cdot(cos(5x)-sin(5x))}{\cos(10x)}=cos(5x)-sin(5x)[/tex]