Разность косинусов:

[tex]\cos\alpha -\cos\beta =-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta }{2}[/tex]

Рассмотрим уравнение:

[tex]\cos7x-\cos9x+\sin x=0[/tex]

[tex]-2\sin\dfrac{7x+9x}{2}\sin\dfrac{7x-9x}{2}+\sin x=0[/tex]

[tex]-2\sin8x\sin(-x)+\sin x=0[/tex]

Учитывая нечетность функции синуса, получим:

[tex]2\sin8x\sin x+\sin x=0[/tex]

Вынесем общий множитель за скобки:

[tex]\sin x(2\sin8x+1)=0[/tex]

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[tex]\left[\begin{array}{l} \sin x=0\\ 2\sin8x+1=0\end{array}\right.[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{l} \sin x=0\\ \sin8x=-\dfrac{1}{2} \end{array}\right.[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{l} x_1=\pi n\\ 8x_2=(-1)^{k}\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\pi k \end{array}\right.[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{l} x_1=\pi n\\ 8x_2=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi }{6}+\pi k \end{array}\right.[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{l} x_1=\pi n\\ x_2=(-1)^{k+1}\dfrac{\pi }{48}+\dfrac{\pi k}{8} \end{array}\right.,\ n,k\in\mathbb{Z}[/tex]

Ответ: [tex]\pi n;\ (-1)^{k+1}\dfrac{\pi }{48}+\dfrac{\pi k}{8},\ n,k\in\mathbb{Z}[/tex]

Ответ:

Фото

Объяснение: