Verified answer

Ответ:

Тождество доказано.

Пошаговое объяснение:

Доказать тождество:

[tex]\displaystyle \bf \frac{sin3\alpha +cos2\alpha -sin\alpha }{cos\alpha +sin2\alpha -cos3\alpha } =ctg2\alpha[/tex]

Сгруппируем:

[tex]\displaystyle \bf \frac{(sin3\alpha -sin\alpha) +cos2\alpha}{(cos\alpha -cos3\alpha)+sin2\alpha } =ctg2\alpha[/tex]

Воспользуемся формулами разности синусов двух углов и разности косинусов двух углов (см. вложение):

[tex]\displaystyle \bf \frac{2sin\frac{3\alpha -\alpha }{2}cos\frac{3\alpha +\alpha }{2} +cos2\alpha }{-2sin\frac{\alpha -3\alpha }{2}sin\frac{\alpha +3\alpha }{2}+sin2\alpha } =ctg2\alpha \\\\\\\displaystyle \bf \frac{2sin\alpha \cdot cos2\alpha +cos2\alpha }{-2sin(-\alpha) \cdot\;sin2\alpha +sin2\alpha }=ctg2\alpha\\\\\\[/tex]

sin (-α) = -sin α

Вынесем в числителе и знаменателе общий множитель:

[tex]\displaystyle \bf \frac{2sin\alpha \cdot cos2\alpha +cos2\alpha }{2sin(\alpha) \cdot\;sin2\alpha +sin2\alpha }=ctg2\alpha\\\\\\\frac{cos2\alpha (2sin\alpha +1) }{sin2\alpha (2sin\alpha +1)}=ctg2\alpha\\\\\\ \frac{cos2\alpha }{sin2\alpha }=ctg2\alpha\\\\\\ctg2\alpha =ctg2\alpha[/tex]

Тождество доказано.