помогите решить интеграл от 0 до пи/4 (sinx-cosx)/(cosx+sinx)^3. Created by ЕвгенияНекрасова2. matematika-ru

Сделаем замену переменной , тогда . u как функция от x на промежутке интегрирования монотонно возрастает от до

(cosx+sinx)^3...

ЕвгенияНекрасова2 @ЕвгенияНекрасова2

July 2022 1 7 Report

помогите решить интеграл от 0 до пи/4 (sinx-cosx)/(cosx+sinx)^3

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Сделаем замену переменной $u=\sin x+\cos x$ , тогда $du=(\cos x-\sin x)\,dx$ . u как функция от x на промежутке интегрирования монотонно возрастает от $u_0=\sin 0+\cos 0=0+1=1$ до $u_1=\sin\frac\pi4+\cos\frac\pi4=\sqrt2$

$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^3}\,dx=-\int_1^{\sqrt2}\frac{du}{u^3}=\left.\frac1{2u^2}\right|_1^{\sqrt2}=-\frac14$