Ответ:

 ΔАВС - равнобедренный , АВ=ВС ,  BD ⊥AC  ,

ВО ⊥ плоскости α  ⇒  ВО перпендикулярна любой прямой в плоскости α  .  Проведём прямую  DО , тогда DО ⊥ BO  и  ΔВOD - прямоугольный ,  ∠BOD=90° .  Тогда BD - наклонная , а DO - проекция наклонной BD на плоскость α .

BD ⊥ AC , так как BD - высота равнобедренного треугольника АВС .

По теореме о трёх перпендикулярах :  если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции .

Точка D - основание BD . Наклонная BD перпендикулярна прямой АС, тогда и её проекция DO перпендикулярна прямой AC.  

Получили, что АС  ⊥ BD  и  АС ⊥ DO . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая АС будет перпендикулярна плоскости, в которой лежат прямые BD и DO , то есть плоскости BDO .  Что и требовалось доказать .