Сразу скажем, что в таком виде результат неверен, более того, сумму квадратов обратных величин можно сделать сколь угодно близкой к нулю. Например, 104-100+100-100=4, а
А вот если все четыре числа положительны, требуемое неравенство легко выводится из неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим: для неотрицательных справедливо неравенство причем неравенство превращается в равенство только в случае
Из условия a+b+c+d=4 и неравенства Коши (если a, b, c, d положительны) следует, что Иными словами,
Чтобы дальше была комфортная жизнь, перепишем это в виде
Answers & Comments
Verified answer
Сразу скажем, что в таком виде результат неверен, более того, сумму квадратов обратных величин можно сделать сколь угодно близкой к нулю. Например, 104-100+100-100=4, а
А вот если все четыре числа положительны, требуемое неравенство легко выводится из неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим: для неотрицательных
справедливо неравенство ![\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n},](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba_1%2Ba_2%2B%5Cldots%20%2Ba_n%7D%7Bn%7D%5Cge%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_1%5Ccdot%20a_2%5Ccdot%20%5Cldots%20%5Ccdot%20a_n%7D%2C "\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n},")
причем неравенство превращается в равенство только в случае 
Из условия a+b+c+d=4 и неравенства Коши (если a, b, c, d положительны) следует, что![1=\frac {a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{a\cdot b\cdot c\cdot d}.](https://tex.z-dn.net/?f=1%3D%5Cfrac%20%7Ba%2Bb%2Bc%2Bd%7D%7B4%7D%5Cge%20%5Csqrt%5B4%5D%7Ba%5Ccdot%20b%5Ccdot%20c%5Ccdot%20d%7D. "1=\frac {a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{a\cdot b\cdot c\cdot d}.")
Иными словами,
Из неравенства Коши следует, что
что и требовалось доказать.