Verified answer

Пусть точка О(x;0) - лежит на оси абсцисс и равноудалена от точек А(2; 0) и В(0; 8).

Должно выполняться условие: длина вектора ОA равна долине вектора ОВ.

Вектор ОA = ((2 - х); (0 - 0) = ((2 - x); 0).

Вектор ОВ = ((0 - x); (8 - 0) = (-x; 8).

Находим длины векторов (можно их квадраты).

|ОA|² = ((2 - x)² + 0²) =  4 – 4х + x² + 0 = x² - 4x + 4.      

|ОВ|² = ((-x)² + 8²) =  x² + 64.

Приравняем: x² - 4x + 4 = x² + 64.

Получаем 4х = -60, отсюда х = -60/4 = -15.

Центр окружности (-15;0).

Находим радиус R = 2 – (-15) = 17.

Уравнение окружности (x + 15)² + y² = 17².

Есть ещё второй вариант решения этой задачи.

Найти координаты точки С как середину отрезка АВ:

C(1; 4). Вектор AB = (-2; 8).

Уравнение AB: (x - 2)/(-2) = y/8.

Вектор k, перпендикулярный к AB, равен:

k = (8; 2).

Уравнение перпендикуляра: (x - 1)/8 = (y - 4)/2.

На оси абсцисс у = 0, получаем (x - 1)/8 = (0 - 4)/2.

х/8 = (1/8) - (4/2), общий знаменатель 8.

х = 1 – 16 = -15.

Точка O(-15; 0).

Далее R = 17 и получаем уравнение (x + 15)² + y² = 17².