Ответ:
а) [tex]\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C[/tex]
б) [tex]\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C[/tex]
в) [tex]-5\ln{|x-1|}+3\ln{|x-4|}+C[/tex]
Пошаговое объяснение:
а) Заметим, что [tex]d(arctg2x)=\dfrac{2dx}{1+4x^2}[/tex]. Тогда:
[tex]\displaystyle \int \dfrac{\sqrt[3]{arctg{2x}}}{1+4x^2} dx =\dfrac{1}{2}\int \sqrt[3]{arctg2x}\cdot \dfrac{2dx}{1+4x^2}=\dfrac{1}{2}\int\sqrt[3]{arctg2x}d(arctg2x)=\\=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C=\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C[/tex]
Проверка: [tex]\left(\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C\right)'=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot(arctg2x)^{\frac{1}{3}}\cdot \dfrac{2}{1+4x^2}=\dfrac{\sqrt[3]{arctg2x}}{1+4x^2}[/tex]
б) [tex]\displaystyle \int (x-7)\cos{2x}dx[/tex]
Пусть [tex]u=x-7,dv=\cos{2x}dx[/tex]. Тогда [tex]du=dx,v=\dfrac{1}{2}\sin{2x}[/tex]. Воспользуемся методом интегрирования по частям:
[tex]\displaystyle \int (x-7)\cos{2x}dx=\dfrac{1}{2}(x-7)\sin{2x}-\int \dfrac{1}{2}\sin{2x}dx=\\=\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C[/tex]
Проверка: [tex]\left(\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C\right)'=\dfrac{\sin{2x}+2(x-7)\cos{2x}}{2}-\dfrac{2\sin{2x}}{4}=\\=\dfrac{\sin{2x}}{2}+(x-7)\cos{2x}-\dfrac{\sin{2x}}{2}=(x-7)\cos{2x}[/tex]
в) [tex]\displaystyle \int \dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}dx[/tex]
Разложим дробь на простейшие:
[tex]\dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}=\dfrac{17-2x}{(x-1)(x-4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-4}=\dfrac{A(x-4)+B(x-1)}{(x-1)(x-4)}[/tex]
Найдём коэффициенты разложения методом частных значений.
При x = 1: [tex]A(1-4)+B(1-1)=17-2\cdot 1\Leftrightarrow-3A=15\Leftrightarrow A=-5[/tex]
При x = 4: [tex]A(4-4)+B(4-1)=17-2\cdot 4\Leftrightarrow 3B=9\Leftrightarrow B=3[/tex]
Тогда [tex]\dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}=-\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{x-4}[/tex]
[tex]\displaystyle \int \dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}dx=\int\left(-\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{x-4}\right)dx=-5\int \dfrac{dx}{x-1}+3\int\dfrac{dx}{x-4}=\\=-5\ln{|x-1|}+3\ln{|x-4|}+C[/tex]
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
а) [tex]\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C[/tex]
б) [tex]\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C[/tex]
в) [tex]-5\ln{|x-1|}+3\ln{|x-4|}+C[/tex]
Пошаговое объяснение:
а) Заметим, что [tex]d(arctg2x)=\dfrac{2dx}{1+4x^2}[/tex]. Тогда:
[tex]\displaystyle \int \dfrac{\sqrt[3]{arctg{2x}}}{1+4x^2} dx =\dfrac{1}{2}\int \sqrt[3]{arctg2x}\cdot \dfrac{2dx}{1+4x^2}=\dfrac{1}{2}\int\sqrt[3]{arctg2x}d(arctg2x)=\\=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C=\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C[/tex]
Проверка: [tex]\left(\dfrac{3(arctg2x)^{\frac{4}{3}}}{8}+C\right)'=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot(arctg2x)^{\frac{1}{3}}\cdot \dfrac{2}{1+4x^2}=\dfrac{\sqrt[3]{arctg2x}}{1+4x^2}[/tex]
б) [tex]\displaystyle \int (x-7)\cos{2x}dx[/tex]
Пусть [tex]u=x-7,dv=\cos{2x}dx[/tex]. Тогда [tex]du=dx,v=\dfrac{1}{2}\sin{2x}[/tex]. Воспользуемся методом интегрирования по частям:
[tex]\displaystyle \int (x-7)\cos{2x}dx=\dfrac{1}{2}(x-7)\sin{2x}-\int \dfrac{1}{2}\sin{2x}dx=\\=\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C[/tex]
Проверка: [tex]\left(\dfrac{(x-7)\sin{2x}}{2}+\dfrac{\cos{2x}}{4}+C\right)'=\dfrac{\sin{2x}+2(x-7)\cos{2x}}{2}-\dfrac{2\sin{2x}}{4}=\\=\dfrac{\sin{2x}}{2}+(x-7)\cos{2x}-\dfrac{\sin{2x}}{2}=(x-7)\cos{2x}[/tex]
в) [tex]\displaystyle \int \dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}dx[/tex]
Разложим дробь на простейшие:
[tex]\dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}=\dfrac{17-2x}{(x-1)(x-4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-4}=\dfrac{A(x-4)+B(x-1)}{(x-1)(x-4)}[/tex]
Найдём коэффициенты разложения методом частных значений.
При x = 1: [tex]A(1-4)+B(1-1)=17-2\cdot 1\Leftrightarrow-3A=15\Leftrightarrow A=-5[/tex]
При x = 4: [tex]A(4-4)+B(4-1)=17-2\cdot 4\Leftrightarrow 3B=9\Leftrightarrow B=3[/tex]
Тогда [tex]\dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}=-\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{x-4}[/tex]
[tex]\displaystyle \int \dfrac{17-2x}{x^2-5x+4}dx=\int\left(-\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{x-4}\right)dx=-5\int \dfrac{dx}{x-1}+3\int\dfrac{dx}{x-4}=\\=-5\ln{|x-1|}+3\ln{|x-4|}+C[/tex]