4 задание: Скорость - это производная пройденного пути по времени, то есть [tex]x'=v[/tex], тогда [tex]x'(t)=v(t)=(\frac{3}{2}t^2-4t+3)'=3t-4[/tex]. Тогда, если нам нужно вычислить скорость в момент времени t=2, то мы подставляем это значение в получившуюся формулу [tex]v(2)=3\cdot2-4=6-4=2[/tex] м/c. Аналогично при t=8: [tex]v(8)=3\cdot8-4=24-4=20[/tex] м/с 5 задание: Найдём производную функции [tex]g'(x)=(2x^3+3x^2-12x)' = 6x^2+6x-12[/tex] Чтобы найти точки экстремума, нужно приравнять производную к нулю: [tex]g'(x)=0 \Longleftrightarrow 6x^2+6x-12=0 \Longleftrightarrow x^2+x-2=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+2)=0[/tex] (по теореме Виета нашёл корни). Точки экстремума оказались равными 1 и -2. (первое фото) Из него мы получаем, что промежутки возрастания функции - это: [tex]x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)[/tex], а промежутки убывания [tex]x\in(-2;1)[/tex], точка максимума это x=-2, точка минимума это x=1
6 задание: Для решения данного задания найдём производную функции: [tex]g'(x)=(4+2x-x^2)' = 2-2x[/tex] Точка экстремума это [tex]g'(x)=0 \Longleftrightarrow 2-2x=0 \Longleftrightarrow x=1[/tex]. Так как в производной перед старшей степенью икса стоит знак минус, то (смотри второе фото). Тогда мы получаем, что наибольшее значение на промежутке [0;3] будет в точке x=1, так как это точка максимума. Наименьшее значение может быть или в точке 0 (так как от 0 до 1 функция возрастает, мы берем самое маленькое значение), или в точке 3 (так как функция на промежутке от 1 до 3 убывает, мы берем самое больше значение икса), так как мы не знаем, насколько быстро растёт или убывает функция. Тогда подставим: [tex]g(0)=4, g(3)=4+2\cdot3-9=1[/tex], значит в точке 3 наименьшее значение. В точке х=1 тогда [tex]g(1)=4+2-1=5[/tex]. Ответ: наибольшее 5, наименьшее 1 7 задание: 1) Найдём производную [tex]p'(x)=(\sqrt{x}(3x^2+2))'=(x^{\frac{1}{2}}(3x^2+2))'=(3x^{\frac{5}{2}}+2x^\frac{1}{2}})' = \frac{15}{2}x^\frac{3}{2}+x^{-\frac{1}{2}}[/tex] Второй способ найти эту же производную: [tex]p'(x)=(\sqrt{x}(3x^2+2))' = (\sqrt{x})'(3x^2+2)+\sqrt{x}(3x^2+2)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x^2+2)+\sqrt{x}\cdot6x = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}+6x^{\frac{3}{2}}= \frac{15}{2}x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}[/tex] 2) Найдём производную [tex]f'(x)=\left(\frac{x^2+x}{x-2}\right)'=\frac{(x^2+x)'(x-2)-(x^2+x)(x-2)'}{(x-2)^2}[/tex] = [tex]\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
Відповідь:
Пояснення:
розв'язання завдання додаю
4 задание:
Скорость - это производная пройденного пути по времени, то есть [tex]x'=v[/tex], тогда [tex]x'(t)=v(t)=(\frac{3}{2}t^2-4t+3)'=3t-4[/tex]. Тогда, если нам нужно вычислить скорость в момент времени t=2, то мы подставляем это значение в получившуюся формулу [tex]v(2)=3\cdot2-4=6-4=2[/tex] м/c. Аналогично при t=8: [tex]v(8)=3\cdot8-4=24-4=20[/tex] м/с
5 задание:
Найдём производную функции [tex]g'(x)=(2x^3+3x^2-12x)' = 6x^2+6x-12[/tex]
Чтобы найти точки экстремума, нужно приравнять производную к нулю: [tex]g'(x)=0 \Longleftrightarrow 6x^2+6x-12=0 \Longleftrightarrow x^2+x-2=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+2)=0[/tex] (по теореме Виета нашёл корни). Точки экстремума оказались равными 1 и -2. (первое фото) Из него мы получаем, что промежутки возрастания функции - это: [tex]x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)[/tex], а промежутки убывания [tex]x\in(-2;1)[/tex], точка максимума это x=-2, точка минимума это x=1
6 задание:
Для решения данного задания найдём производную функции: [tex]g'(x)=(4+2x-x^2)' = 2-2x[/tex]
Точка экстремума это [tex]g'(x)=0 \Longleftrightarrow 2-2x=0 \Longleftrightarrow x=1[/tex]. Так как в производной перед старшей степенью икса стоит знак минус, то (смотри второе фото). Тогда мы получаем, что наибольшее значение на промежутке [0;3] будет в точке x=1, так как это точка максимума. Наименьшее значение может быть или в точке 0 (так как от 0 до 1 функция возрастает, мы берем самое маленькое значение), или в точке 3 (так как функция на промежутке от 1 до 3 убывает, мы берем самое больше значение икса), так как мы не знаем, насколько быстро растёт или убывает функция. Тогда подставим: [tex]g(0)=4, g(3)=4+2\cdot3-9=1[/tex], значит в точке 3 наименьшее значение. В точке х=1 тогда [tex]g(1)=4+2-1=5[/tex]. Ответ: наибольшее 5, наименьшее 1
7 задание:
1) Найдём производную [tex]p'(x)=(\sqrt{x}(3x^2+2))'=(x^{\frac{1}{2}}(3x^2+2))'=(3x^{\frac{5}{2}}+2x^\frac{1}{2}})' = \frac{15}{2}x^\frac{3}{2}+x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Второй способ найти эту же производную: [tex]p'(x)=(\sqrt{x}(3x^2+2))' = (\sqrt{x})'(3x^2+2)+\sqrt{x}(3x^2+2)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x^2+2)+\sqrt{x}\cdot6x = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}+6x^{\frac{3}{2}}= \frac{15}{2}x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}[/tex]
2) Найдём производную
[tex]f'(x)=\left(\frac{x^2+x}{x-2}\right)'=\frac{(x^2+x)'(x-2)-(x^2+x)(x-2)'}{(x-2)^2}[/tex] = [tex]\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}[/tex]