Пусть [tex]p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}[/tex] имеет кратный корень [tex]x_0[/tex]. Значит, число [tex]x_0[/tex] является корнем его производной [tex]p'(x)=0+1+\dfrac{2x}{2!}+...+\dfrac{n\cdot x^{n-1}}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{ x^{n-1}}{(n-1)!}[/tex].
Но тогда [tex]x_0[/tex] является корнем и разности [tex]p(x)-p'(x)=\dfrac{x^n}{n!}[/tex] - но единственным корнем этого многочлена является [tex]x=0[/tex]. Значит, [tex]x_0=0[/tex].
Но [tex]p(0)=1\neq 0[/tex], т.е. [tex]x_0=0[/tex] не является корнем [tex]p(x)[/tex] - противоречие.
Значит, [tex]p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}[/tex] не имеет кратных корней.
Ч.т.д.
3 votes Thanks 4
solka0000
будь ласка , допоможіть з математикою , я щойно додала завдання , даю максимум балів
zlm01
Скажите пожалуйста как решать задачи, как вы?(( или это препадают в универах?(
Answers & Comments
Пусть [tex]p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}[/tex] имеет кратный корень [tex]x_0[/tex]. Значит, число [tex]x_0[/tex] является корнем его производной [tex]p'(x)=0+1+\dfrac{2x}{2!}+...+\dfrac{n\cdot x^{n-1}}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{ x^{n-1}}{(n-1)!}[/tex].
Но тогда [tex]x_0[/tex] является корнем и разности [tex]p(x)-p'(x)=\dfrac{x^n}{n!}[/tex] - но единственным корнем этого многочлена является [tex]x=0[/tex]. Значит, [tex]x_0=0[/tex].
Но [tex]p(0)=1\neq 0[/tex], т.е. [tex]x_0=0[/tex] не является корнем [tex]p(x)[/tex] - противоречие.
Значит, [tex]p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!}[/tex] не имеет кратных корней.
Ч.т.д.