[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+x^2-x-1}{6x^3+3x+2}=[/tex]

Преобразовываем выражение

[tex]= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3\bigg(\bigg1+\dfrac{x^2}{x^3}-\dfrac{x}{x^3} -\dfrac{1}{x^3} \bigg) }{x^3\bigg(\bigg6+\dfrac{x}{x^3} +\dfrac{2}{x^3} \bigg)} =\lim_{x \to \infty} \frac{\bigg1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} -\dfrac{1}{x^3}}{\bigg6+\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{2}{x^3}}=[/tex]

(надпись x→∞ немного съехала, пиши ее под лимитом)

Теперь подставляем бесконечность вместо х:

[tex]=\displaystyle\frac{1+\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{1}{\infty^2} -\dfrac{1}{\infty^3}}{6+\dfrac{1}{\infty^2} +\dfrac{2}{\infty^3}}=[/tex]

Бесконечность хоть в квадрате, хоть в кубе, все равно останется бесконечностью, а число, деленное на бесконечность, будет равно нулю, значит

[tex]=\dfrac{1+0-0-0}{6+0+0}=\dfrac{1}{6}[/tex]

Ответ:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+x^2-x-1}{6x^3+3x+2}=\frac{1}{6}[/tex]