Задача:

Через образующие конуса, угол между которыми равен 120°, проведена плоскость, составляющая с основанием угол 45°. Найти объем конуса, если его высота равна √6 см.

Решение:

Обозначим образованный при пересечении конуса плоскостью треугольник за AEB, центр основания конуса за O, ∠AEB = 120°, ∠EKO = 45°, высоту за EO = √6 см.

Для того чтобы найти объем конуса, нам необходимо найти значение радиуса основания.

ΔAEB — равнобедренный, высота EK (она же медиана и бессиктриса) ⊥AB, и за т. о трех перпендикулярах ⊥ OK (проекция). ∠AEK = ∠BEK = 120/2 = 60°. ∠EAK = ∠EBK = 180−(90+60) = 30°.

Р-м ΔEOK:

ΔEOK — прямоугольный, ∠O = 90°, ∠K = 45° ⇒ ∠E = 180−(90+45) = 45° ⇒ ΔEOK — равнобедренный: EO = OK = √6 см.

Р-м ΔAKE:

ΔAKE — прямоугольный, ∠K = 90°, ∠K = 60°, ∠A = 30°:

По т. Пифагора EK = √((√6)²)+(√6)²) = √(6+6) = √12 = 2√3 (см).

По свойству угла в 30° и противолежащего катета, гипотенуза AE равна (2√3)·2 = 4√3 (см).

Р-м ΔAEO:

ΔAEO — прямоугольный: AO — проекция образующей ⊥ EO, ∠O = 90°.

AO — наш искомый радиус, находит по т. Пифагора:

AO = √(AE²−EO²) = √((4√3)²−(√6)²) = √(16·3−6) = √42 (см).

Подставляем значения и находи объем данного конуса:

≈

Ответ:

Объем конуса равен 14√6π см³ (≈ 107,73 см³).

Рисунок с выдерживание пропорций: