Правильный тетраэдр

- все грани - равносторонние треугольники

- вершина проецируется в центр основания

Центр вписанной и описанной окружностей правильного треугольника - пересечение биссектрис/высот/медиан

a)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.

SO⊥(ABC)

SAO - угол между прямой SA и плоскостью ABC

Все правильные тетраэдры подобны, поэтому примем все ребра =1.

AA1 =AC sin60 =√3/2

Медианы делятся 2:1 от вершины.

AO=2/3 AA1 =2/3 *√3/2 =1/√3

cos(SAO) =AO/SA =1/√3

sin(SAO) =√(1-cos(SAO)^2) =√(1 -1/3) =√(2/3) =√6/3

b)

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой.

SO⊥(ABC), OB1⊥AC => SB1⊥AC (т о трех перпендикулярах)

SB1O - угол между плоскостями SAC и ABC

OB1=1/3 BB1 =1/3 *√3/2 =1/2√3

SB1=√3/2

cos(SB1O) =OB1/SB1 =1/2√3 :√3/2 =1/3

sin(SB1O) =√(1 -1/9) =√(8/9) =2√2/3