Пусть SАВС - правильная 3-х угольная пирамида, SО - высота, АВС - основание, стороны АВ=ВС=АС=а, угол SАО=45⁰.

АО - радиус описанной окружности, по формуле для правильных треугольников АО=R=a/√3.

Из треугольника SАО, угол SОА=90⁰ : SА= SО/cos45°=a/√3 : 1/√2 = а√2/√3.

Проведем SМ - апрофему(высоту боковой грани). Из треугольника SАМ, угол SМА=90°, по т. Пифагора: SМ²=SА²- SО² = (а√2/√3)²-(a/√3)²=a²/3, SМ=a/√3.

Sбок.= ½ l·P = ½·a/√3·3a= ½·а²√3