Дано 25 чисел, причём известно, что сумма любых четырёх из них положительна.Объя...

July 2022 1 19 Report

Дано 25 чисел, причём известно, что сумма любых четырёх из них положительна.Объясните, почему положительной будет сумма всех 25 чисел.

Answers & Comments

yugolovin

Verified answer

Порассуждаем не торопясь. Пусть всего чисел не 25, а 5: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ . Выпишем все четверки:

$a_1, a_2, a_3, a_4;$

$a_1, a_2, a_3, a_5;$

$a_1, a_2, a_4, a_5;$

$a_1, a_3, a_4, a_5;$

$a_2, a_3, a_4, a_5.$

По условию все они положительны. Сложим все эти четверки. Снова получится положительное число. Поскольку каждое из чисел входит ровно в четыре четверки (для дальнейшего важно, что каждое число входит в одинаковое количество четверок), то общая сумма будет иметь вид

$4(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)>0.$

Отсюда и следует утверждение.

Для 25 чисел рассуждение ничем не отличается, только четверок намного больше (те, кто знаком с комбинаторикой, может подтвердить, что всего четверок будет $C_{25}^4=\frac{25!}{4|(25-4)|}=\frac{25!}{4!21!}=\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=25\cdot 23\cdot 22=12650$ , хотя это абсолютно неважно для решения задачи). Важно только, что каждое из чисел будет входить в одинаковое количество четверок. Неважно, чему равно это количество, но доказывая тезис о том, что все математики страшные зануды, найдем его. Подбирая для конкретного числа "трех соседей", мы тем самым из 24 чисел выбираем три числа, а сделать это можно

$C_{24}^3=\frac{24!}{3!21!}=\frac{24\cdot 23\cdot 22}{3\cdot 2\cdot 1}=4\cdot 23\cdot 22=2024$ способами. Сложив все четверки, а они по условию положительные) мы получим положительное число

$2024(a_1+a_2+\ldots +a_{25})>0\Rightarrow a_1+a_2+\ldots + a_{25}>0.$

Доказательство завершено.

4 votes Thanks 6

ntorbinskiy Я вот не понимаю действие после того, как ты доказал что сумма а1,а2,а3,а4,а5 будет положительной.можешь Пожалуйста объяснить?

yugolovin Как я понял, для пяти чисел все ясно. Попробуй теперь разобраться для случая, когда чисел шесть. Выпиши все возможные четверки; их будет не так много - 15 четверок. Посмотри, в скольких из них находится каждое число. Окажется, что каждое число находится ровно в 10 четверках. Сложи все эти четверки. Получится 10(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6). Раз все четверки давали положительное число, то и их сумма будет положительным числом, а тогда и требуемая сумма положительна.

ntorbinskiy НУ в в принципе насчёт пяти чисел чсно

ntorbinskiy ясно*

ntorbinskiy ок попробую

Answers & Comments

Verified answer

pyatnadcat martyshek sorvali 100 bananovdokazhitechto sredi nih est hotya by 2 ma

odin tokar mozhet vypolnit zakaz za 10 chasov a vtoroj za 8 chasovskolko vreme

tvorche zavdannya kozacka yizha

1yaki isnuvali etapi rozvitku nacionalnih ruhiv u shidnij yevropi2 yaki napryamk

lyudi ochen proshu pomoch s 11b

pridumajte 2 takih chisla kotorye bolshe svoih kvadratov na 009 pzh pomogite so

pomogite pozhalujsta s 11b srochno

x1x 5 52 podskazhite ochen srochno kak reshat podobnogo plana uravneniya

pridumajte takoe celoe polozhitelnoe chislo kotoroe bolshe summy vseh svoih cifr

3 vsego okazavshegosya u nego posle etogo varenya vernul malyshuv rezultate vyyasn

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social