Verified answer

Дано вершины треугольника А(2;1), В(4;-3, С(-2;-4).

Найти:  

1) уравнение стороны ВС.

Находим векторы.

АВ = (4-2; -3-1) = (2; -4), модуль с = √(2² + (-4)²) = √20 = 2√5 ≈ 4,47214,

AC = (-2-2; -4-1) = (-4; -5), модуль b = √((-4)² + (-5)²) = √41 ≈ 6,40312,

BC = (-2-4; -4-(-3) = (-6; -1), модуль a = √((-6)² + (-1)²) = √37 ≈ 6,08276.

Уравнение ВС: (x - 4)/(-6) = (y + 3)/(-1)    каноническое,

                          x - 6у - 22 = 0                  общее,

                           у = (1/6)x – (11/3)        с угловым коэффициентом, равным (1/6).

2)4) уравнение и длину медианы СМ.

Находим координаты точки М как середину стороны АВ.

М = (((2+4)/2); ((1-3)/2) = (3; -1).

Вектор CМ = (3-(-2)); -1-(-4) = (5; 3).

Уравнение CМ: (х + 2)/5 = (у + 4)/3 каноническое,

                         3х + 6 = 5у + 20,

                         3х - 5у - 14 = 0 общее,

                        у = (3/5)х - (14/5) с угловым коэффициентом.

Длина CМ равна √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34 ≈ 5,83095.

3)4) уравнение и длину высоты ВN;  

Высота ВN это перпендикуляр к прямой АС.

Находим уравнение прямой АС с учётом, что вектор АС = (-4; -5)

(x – 2)/(-4) = (y – 1)/(-5) каноническое или

5х - 4у - 6 = 0 в общем виде Ах + Ву + С = 0.

Уравнение перпендикуляра имеет коэффициенты по сравнению  с АС, равные -В и А: 4х + 5у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки В:

4*4 + 5*(-3) + С = 0, отсюда С = 15 - 16 = -1.

Получаем уравнение общего вида:  

BN = 4х + 5у - 1 = 0.

Длину высоты ВN можно получить двумя способами:

а) найти по Герону площадь S, тогда h(BN) = 2S/AC.

Площадь по Герону: S = √(8,479011361*4,006875406*2,396248831* 2,075887124) = 13.

Сторона AC (b) = √(16 + 25) = √41 ≈  6,403124237.

BN = 2*13/6,403124237 = 4,060517809.

б) найти координаты точки N как точку пересечения прямой АС и высоты ВN, решив систему:

{AC: 5х - 4у - 6 = 0   |x(5) = 25x - 20y - 30 = 0

{BN: 4х + 5у - 1 = 0  |x(4) = 16x + 20y - 4 =0          

                                             41x          - 34 = 0,

x = 34/41 ≈ 0,82927,

y = (5x - 6)/4 = ((5*34/41) - 6)/4 =(170 - 246)/(41*4) =

 =  -76/164 = -19/41 ≈ -0,46342.

Точка N((34/41); (-19/41)).

По разности координат находим BN.

BN = √(((34/41) - 4)² + ((-19/41) – (-3))²) √((-130/41)² + (123/41)²) ≈ 4,06052.

5) определить угол при вершине В.  

Находим по косинусу угла между векторами ВА и ВС.

  Вектор ВА = -АВ = (-2; 4), модуль 2√5,

  Вектор ВС = (-6; -1), модуль √37.

cos B = (-2*(-6) + 4*(-1))/(2√5*√37) = 8/√(2√185) ≈ 0,29409.

B = arccos 0,29409 = 1,2723 радиан или 72,8973 градуса.