Verified answer

1. Градиент - это вектор вида .

Найдем частные производные:

Найдем значение частных производных в точке А:

Градиент принимает вид:

2. Производная по направлению вектора  определяется как , где ,

Определим направляющие косинусы:

Значения частных производных в точке А уже вычислялись. Вычисляем производную по направлению:

3. Необходимое условие экстремума: равенство нулю частных производных. Приравняем частные производные к нулю, составим и решим систему:

Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе:

Таким образом, точка (2; -2) - предполагаемая точка экстремума.

Найдем вторые производные функции:

Рассмотрим выражение :

Так как и , то (2; -2) - точка минимума.

Найдем значение минимума:

Ответ:

а)

б)

в)