Verified answer

Находим уравнение плоскости АВС из которого используются координаты нормального вектора этой плоскости.

Решение:

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA        y - yA       z - zA

xB - xA     yB - yA     zB - zA

xC - xA     yC - yA     zC - zA   = 0.

Подставим данные и упростим выражение:

x - 10         y - 2          z - (-1)

4 - 10       (-5) - 2       (-3) - (-1)

8 - 10         3 - 2          5 - (-1)   = 0

x - 10         y - 2         z - (-1)

 -6             -7             -2

 -2              1               6   = 0

(x - 10)(-7·6-(-2)·1) - (y - 2)((-6)·6-(-2)·(-2)) + (z - (-1))((-6)·1-(-7)·(-2))  = 0.

(-40)(x - 10) + 40(y - 2) + (-20)(z - (-1)) = 0.

- 40x + 40y - 20z + 300 = 0.

2x - 2y + z - 15 = 0.

Нормальный вектор равен (2; -2; 1).

Вектор AD = (0-10; 1-2; 8-(-1)) = (-10; -1; 9).

Найдем угол между прямой

x - 10    =   y - 2   =    z + 1

 -10              -1              9

и плоскостью 2x  -  2y  + z -  15 = 0

Направляющий вектор прямой имеет вид:

s =  {-10; -1; 9}

Вектор нормали плоскости имеет вид:

q =  {2; -2; 1}

Угол между прямой и плоскостью:

sin φ =         | A · l + B · m + C · n            |       =

           √(A² + B² + C²) · √(l² + m² + n²)

=       | 2 · (-10) + (-2) · (-1) + 1 · 9 |                  =

   √(2² + (-2)² + 1²)· √((-10)² + (-1)² + 9²)

=           | -20 + 2 + 9 |                    =

   √(4 + 4 + 1) · √(100 + 1 + 81)

=       9            =

√9 · √182

=         9         = 3√182    = 0,22237.

        3√182          182

Угол равен 12,8486 градуса.