Verified answer

Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(−4;2;−1) , B(0;6;− 3) , C(−2;13;−11) , D(−4;4;0) .

Необходимо:

1. Записать векторы_____AB, _____AC , AD_____ в ортонормальной системе {i, j, k} и найти модули этих векторов.

Вектор АВ = (0-(-4); 6-2; -3-(-1)) = (4; 4; -2) = 4i + 4j - 2k.

|AB| = √((4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6.

Вектор BC = (-2-0; 13-6; -11-(-3)) = (-2; 7; -8) = -2i + 7j - 8k.

|BC| = √(((-2)² + 7² + (-8)²) = √(4 + 49 + 64) = √117 ≈ 10,81665.

Вектор АC = (-2-(-4); 13-2; -11-(-1)) = (2; 11; -10) = 2i + 11j - 10k.

|AC| = √√((2² + 11² + (-10)²) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15.

2. Найти угол между векторами AB и AC .

cos(AB_AC) = (4*2 + 4*11 + (-2)*(-10))/(6*15) = 72/90 = 4/5.

Угол равен arc cos(4/5) = 0,6435 радиан или 36,87 градуса.

3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB (4; 4; -2)

Точки A(−4;2;−1), D(−4;4;0). Вектор AD: (0; 2; 1).

Проекция b на a =  (a · b)/|b|

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + 1 · (-2) = 0 + 8 - 2 = 6

Найдем модуль вектора:

|b| = √(bx² + by² + bz²) = √(4² + 4² + (-2)²) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6.

Пр ba =  6/6 = 1.  

4. Вычислить площадь грани ABC .

Для этого надо найти векторное произведение векторов  АВ(4; 4; -2) и АС(2; 11; -10).

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

 i        j       k|        i         j

4      4    -  2|        4        4

2     11     -10|        2       11   =   -40i - 4j + 44k + 40j + 22i - 8k =

                                           =   -18i + 36j + 36k = (-18; 36; 36).

Модуль равен √((-18)² + 36)² + 36²) = √2916   = 54.

Площадь S = (1/2)*54 = 27.

5. Найти объем пирамиды ABCD .

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

ABxAC    =    -18      36       36

      АD    =    0       2             1

(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(0 + 72 + 36)| = 108/6 = 18.