Verified answer

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(0;-10),В(-12;-1),С(4;12).Найти:

1. Длину стороны АВ:

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 = 15.

2. Уравнение сторон АВ и АС:

АВ : Х-Ха = У-Уа                        х           =            у + 10

Хв-Ха              Ув-Уа                      -12                             9

9х = -12у -120     сократим на 3 и перенесём налево:

3х + 4у + 40 = 0.

у(АВ) = -0,75х - 10.

АС : Х-Ха = У-Уа

Хс-Ха  Ус-Уа

      11Х - 2У - 20 = 0

       у = 5,5х - 10

3. Величину угла А:

cos A= АВ²+АС²-ВС²  = 0,4472136.  

           2*АВ*АС    

  A = 1,107149 радиан.

  A = 63,434949 градусов.

4. Уравнение высоты CD и ее длину.

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-0,75) = 4/3.

у = (4/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С:

12 = (4/3)*4 + в,   в = 12 - (16/3) = 20/3.

Уравнение СД: у = (4/3)х + (20/3).

Длину СД можно определить двумя способами: СД = 2S/AB и по координатам точек С и Д.

Приравниваем уравнения АВ и СД:  -0,75х - 10 = (4/3)х + (20/3),

(-25/12)х = (20/3) + 10 = 50/3,

х = (50/3)/(-25/12) = (-600/75) = -8,

у = (-3/4)*(-8) - 10 = 6 - 10 = -4.    Точка D: (-8; -4).

Длина СД = √((-8-4)² + (-4-12)²) = √(144 + 256) = √400 = 20.

5. Уравнение медианы ВЕ.

Точка Е как середина АС: (2; 1).

ВЕ:    Х-Хв = У-Ув                    х + 12       =       у + 1

        Хе-Хв            Уе-Ув                        14                       2

Знаменатели сократим на 2: х + 12 = 7у + 7.

Общее уравнение ВЕ: х - 7у + 5 = 0,

с угловым коэффициентом: у = (1/7)х + (5/7).      

6. Координаты точки К пересечения медианы ВЕ и высоты CD.

(1/7)х + (5/7) = (4/3)х + (20/3),

(-25/21)х = (125/21)

х = -125/25 = -5,   у = (1/7)*(-5) + (5/7) = 0.   Точка К:(-5; 0).

7. Уравнение прямой КР, проходящей через точку К параллельно стороне АВ.

Угловой коэффициент равен -0,75.

Уравнение КР: у = (-0,75)х + в. Подставим координаты точки К(-5; 0):

0 = (-0,75)*(-5) + в,   в =  - (15/4) = -3,75.

у = (-0,75)х - 3,75.

8. Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Так как CD - перпендикуляр к прямой АВ, то точка D(-8; -4) - это та точка, относительно которой требуется найти точку, симметричной точке А.

xM = 2xD - xA = 2*(-8) - 0 = -16,

yM =2yD - yA = 2*(-4) - (-10) = -8 + 10 = 2.

Точка М(-16, 2).