Даны точки A (3; 6), B (2; 9), C (7; 8) и D (8; 5). Докажите, что отрезки AC и BD пересекаются и точки пересечения делятся пополам.
Answers & Comments
Loudon
Найдём уравнение прямой АС. Для этого запишем уравнение прямой в общем виде: y = kx+b и подставим два раза координаты имеющихся точек: 6 = k*3+b 8 = k*7+b Вычтя из второго уравнения первое, получим: 2 = 4*k k = 0,5, подставив это, допустим, во второе, найдём b: b = 8 - 7*0,5 = 4,5 Значит уравнение прямой АС: y = 0,5*x+4,5. Повторим эти действия для отрезка BD: 9 = 2*k+b 5 = 8*k+b -4 = 6*k k = -2/3 b = 9 - 2*(-2/3) = 10 1/3 Уравнение BD: y = -2/3*x + 10 1/3. Составляем систему из обоих получившихся уравнений. Если система имеет решение - значит отрезки пересекаются (строго говоря, пересекаются содержащие их прямые, но если эта точка будет внутри отрезков, то и отрезки): y = 0,5*x+4,5. y = -2/3*x + 10 1/3 Вычитаем из первого второе: 0 = 7/6*x - 5 5/6 x = (5 5/6 )* 6/7 = 35/6 * 6/7 = 5 Подставляем в первое, находим y: y = 0,5*5+4,5 = 7 Итак, мы получили координаты точки пересечения: (5;7). Теперь убедимся, что она лежит в середине обоих отрезков. Для этого сравним разности абсцисс и ординат этой точки и концов отрезков: 5-3=7-5 7-6=8-7 Отрезок АС проверен, продолжаем для BD: 5-2=8-5 9-7=7-5 Все равенства выполняются, а значит точка действительно является серединой обоих отрезков. Спрашивайте, если что непонятно.
Answers & Comments
6 = k*3+b
8 = k*7+b
Вычтя из второго уравнения первое, получим:
2 = 4*k
k = 0,5, подставив это, допустим, во второе, найдём b:
b = 8 - 7*0,5 = 4,5
Значит уравнение прямой АС: y = 0,5*x+4,5.
Повторим эти действия для отрезка BD:
9 = 2*k+b
5 = 8*k+b
-4 = 6*k
k = -2/3
b = 9 - 2*(-2/3) = 10 1/3
Уравнение BD: y = -2/3*x + 10 1/3.
Составляем систему из обоих получившихся уравнений. Если система имеет решение - значит отрезки пересекаются (строго говоря, пересекаются содержащие их прямые, но если эта точка будет внутри отрезков, то и отрезки):
y = 0,5*x+4,5.
y = -2/3*x + 10 1/3
Вычитаем из первого второе:
0 = 7/6*x - 5 5/6
x = (5 5/6 )* 6/7 = 35/6 * 6/7 = 5
Подставляем в первое, находим y: y = 0,5*5+4,5 = 7
Итак, мы получили координаты точки пересечения: (5;7). Теперь убедимся, что она лежит в середине обоих отрезков. Для этого сравним разности абсцисс и ординат этой точки и концов отрезков:
5-3=7-5
7-6=8-7
Отрезок АС проверен, продолжаем для BD:
5-2=8-5
9-7=7-5
Все равенства выполняются, а значит точка действительно является серединой обоих отрезков.
Спрашивайте, если что непонятно.