Даны три числа. Если каждое из них уменьшить на 1, то их произведение тоже уменьшится на 1. Если все исходные числа уменьшить на 2, то их произведение тоже уменьшится на 2.
а) На сколько уменьшится произведение, если все исходные числа уменьшить на 3?
б) Укажите какие-нибудь три числа, удовлетворяющие условию задачи.
а) На сколько уменьшится произведение, если все исходные числа уменьшить на 3?
б) Укажите какие-нибудь три числа, удовлетворяющие условию задачи.
Answers & Comments
Ответ:
Уменьшится на 9.
Пошаговое объяснение:
a) Пусть имеются числа a, b, c.
Рассмотрим выражение (a-x)(b-x)(c-x). Раскроем скобки:
(a-x)(b-x)(c-x) = abc-x(ab+bc+ac)+x²(a+b+c)-x³
То же самое можно было получить, пользуясь формулами Виета.
Пусть ab+bc+ac=p, a+b+c=q.
Тогда (a-x)(b-x)(c-x) = abc-px+qx²-x³
1) Рассмотрим выражение (a-1)(b-1)(c-1):
(a-1)(b-1)(c-1) = abc - p*1 + q*1² - 1³ = abc - p + q - 1
По условию, оно равно abc-1. То есть:
abc - p + q - 1 = abc - 1.
Отсюда p - q = 0
2) Рассмотрим выражение (a-2)(b-2)(c-2):
(a-2)(b-2)(c-2) = abc - 2p + 2²q - 2³ = abc - 2p + 4q - 8
По условию, оно равно abc-2. То есть:
abc - 2p + 4q - 8 = abc - 2
Отсюда p - 2q = -3.
Получили систему уравнений:
{p-q=0,
{p-2q=-3
Вычтем из первого уравнения второе и найдем q:
-q-(-2q)=0-(-3)
q=3.
Из первого уравнения p=q=3.
3) Рассмотрим выражение (a-3)(b-3)(c-3):
(a-3)(b-3)(c-3) = abc - 3p + 3²q - 3³ = abc - 3p + 9q - 27.
С учетом найденных p и q получим:
abc - 3p + 9q - 27 = abc - 3*3 + 9*3 - 27 = abc - 9
Таким образом, произведение уменьшилось на abc - (a-3)(b-3)(c-3) = 9.
б) В качестве a, b, c можно взять a=1, b=1, c=1.
abc = 1,
(a-1)(b-1)(c-1) = 0
(a-2)(b-2)(c-2) = -1
(a-3)(b-3)(c-3) = -8