Даны вершины треугольной пирамиды S (3;2;5) A(4;-2;-3) B(-2;4;-2) C(-2;-3;-5) Найти:
1) угол между ребрами BS и BC
2) площадь грани ABC
3) объем пирамиды SABC
4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС;
5) угол между ребром SC и гранью АВС;
6) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВ
Answers & Comments
Verified answer
Даны вершины треугольной пирамиды:
S (3;2;5), A(4;-2;-3), B(-2;4;-2), C(-2;-3;-5).
Найти:1) угол между ребрами BS и BC.
Вектор BS: (5; -2; 7), его модуль равен √(25+4+49) = √78,
BC: (0; -7; -3), его модуль равен √(0+49+9) = √58.
cos B = (5*0+-2*-7+7*-3)/( √78*√58) = -7/√4524 ≈ -0,10407.
Угол равен 1,675058 радиан или 95, 97374 градуса.
2) площадь грани ABC.
Вектор AB: (-6; 6; 1), вектор АС: (-6; -1; -2).
ABxAC =
I j k| I j
-6 6 1| -6 6
-6 -1 -2| -6 -1 = -12i – 6j + 6k- 12j + 1i + 36k = -11i – 18j + 42k.
Нормальный вектор плоскости АВС равен (-11; -18; 42).
S = (1/2)√((-11)² + (-18)² + 42²) = 47/2 = 23,5 кв.ед.
3) объем пирамиды SABC.
Вектор AS = (-1; 4; 8).
V = (1/6)AS*( ABxAC) = (1/6)*((-11)*(-1)+(-18)*4+42*8) = 275/6 ≈ 45,8333 куб.ед.
4) длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.
H = 3V/S(ABC) = (3*(275/6))/(47/2) = 275/47≈ 5,85106.
5) угол между ребром SC и гранью АВС.
Вектор прямой SC
x y z Модуль
5 5 10 150 12,24745
Уравнение плоскости ABC
x y z D
-11 -18 42 134 =
Модуль
sin ϕ = 275 = 0,477737 √2209 = 47
575,63009
ϕ = 0,4980773 радиан или 28,53773 градуса.
6) уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВC.
Нормальный вектор плоскости АВС (-11; -18; 42) является направляющим вектором высоты из точки S(3; 2; 5).
Уравнение высоты: (x-3)/(-11) = (y-2)/(-18) = (z-5)/42.