1. Площадь равностороннего треугольника (a^2*sqrt(3))/4, где a - сторона, sqrt(3) - корень из 3

Получаем: Sтр = (12^2*sqrt(3))/4 =  62,35382907

Дальше нужно найти площадь сектора... Он считается по формуле (b/2)*R^2, где b - величина угла сектора в радианах

Радиусом у нас является сторона OA и OB, а т.к. треугольник равносторонний мы знаем, что любой угол его равен 60 градусов.

Переводим градусы в радианы: 60 * (pi/180) = 1,047197551 радиан, тогда площадь сектора Sсек = (1,047197551/2)*12^2 = 75,39822367

Осталось найти площадь самого сегмента - это разность площади сектора и треугольника:

Sсег = Sсек - Sтр = 75,39822367 - 62,35382907 = 13,0443946

Ответ: 13,0443946

2.Проведем высоту OH, тогда сторона MN делится пополам... HM = HN = 1/2 * MN = 6

Рассмотрим треугольник OHM - это прямоугольный треугольник с катетом MH = 6 и гипотенузой OM = 20... По теореме Пифагора можем найти второй катет OH, который является высотой для треугольника MON...

Получаем: OM^2 = OH^2 + MH^2 => OH^2 = OM^2 - MH^2 => OH = sqrt(20^2 - 6^2) = 19,07878403

Теперь зная OH мы можем найти площадь треугольника MON - это будет половина основания MN на высоту Sтр = 1/2 * MN * OH = 114,4727042

Аналогично первой задаче ищем площадь сектора... Тут равносторонний треугольник и угол можно найти по формуле: cos(a) = MN/(2*OM) = 72.54239687627792 - это мы нашли углы ONM и OMN, чтоб найти угол NOM, нам нужно из 180 градусов вычесть удвоенное произведение данного угла: NOM = 180 - 2 * 72.54239687627792 = 34.91520471774718

Переведем в радианы как в задаче выше => 34.91520471774718 * (pi/180) = 0,609385281 и находим площадь сектора...

Sсек = (0,609385281/2)*20^2 = 121,8770562

Зная площадь Sтр и Sсек находим Sсег (как в задаче выше)

Sсег = Sсек - Sтр = 121,8770562 - 114,4727042 = 7,404352

Ответ: 7,404352

3. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности: MON = MN... получаем угол MON = 60 градусам и как мы считали раньше - 1,047197551/2 радиан

Можем сразу найти площадь сектора => Sсек = (1,047197551/2)*10^2 = 52,35987755

Треугольник равносторонний т.к. угол OMN очевидно равен ONM и равны => (180-60)/2 = 60 градусов, тогда найдем площадь аналогично первой задачи...

Sтр = (10^2*sqrt(3))/4 = 43,30127019

И тогда площадь сегмента: Sсег = Sсек - Sтр = 52,35987755 - 43,30127019 = 9,05860736

4. Можно расписывать особо не буду?) Тут все аналогично.

Рассмотрим треугольник OKF - он прямоугольный и известен катет с гипотенузой, найдем второй катет по т. Пифагора: KF = sqrt(13^2-3^2) = 12,64911064, тогда основание большого треугольника OEF будет равно EF = 2 * KF = 12,64911064 * 2 = 25,29822128

Площадь этого треугольника Sтр = 1/2 * OK * EF = 37,94733192

Из тригонометрии знаем, что угол KOF будет равен sin(a) = KF/OF = 12,64911064/13 =0,973008511  это 1.3379281483123 радиан или 76.657636190049 градусов, тогда угол EOF будет равен 2 * 76.657636190049 = 153,3152724, ну и соответственно 2,675856297 радиан...

Тогда сектор равен Sсек = (2,675856297/2)*13^2 = 226,1098571

А сегмент Sсег = Sсек - Sтр = 226,1098571  - 37,94733192 = 188,1625252

Ответ: 126,4911065

Блин, там дальше все по аналогии, я думаю можно и самому попробовать решить и так много уже :)

5. Из большого круга вычитаешь маленький. Площадь pi * R^2... тут все дано

Остальное там все по аналогии...

P.S. Ладно... Сейчас доделаю

Sсег = Sбол - Sмал = pi * Rбол^2 - pi * Rмал^2 = pi * (3,5)^2 - pi * (1,5)^2 = 31,41592654

Ответ: 31,41592654

6. Площадь квадрата вписанного в круг - Sкв = D^2/2, где D - диагональ... В нашем случае диагональ будет равна двум радиусам окружности - 20, тогда площадь равна Sкв = 20^2/2 = 200

Sкр = pi * R^2 = 314,1592654

Тогда заштрихованная площадь - S = Sкр - Sкв 314,1592654 - 200 = 114,1592654

Ответ: 114,1592654

7. Тут просто, как я выше писал "Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности" Угол BOA - 60 градусов и 1,047197551 радиан, тогда сектор равен:  Sсек = (1,047197551/2)*8^2 = 33,51032163

Площадь круга: Sкр = pi * R^2 = 201,0619298

Кусочек пиццы вычитаем из круга и получаем S = Sкр - Sсек = 201,0619298 - 33,51032163 = 167,5516082

Ответ: 167,5516082

8. Т.к. ABCD квадрат и мы знаем его сторону - 8, мы можем найти площадь квадрата... Удивительно, правда? Sкв = 8^2 = 64

Тут еще видим, что тут четыре четвертинки окружности, которые если сложить вместе - получился один круг. Мы видимо радиус - это половина стороны квадрата 8/2 = 4, тогда площадь четвертинок в сумме будет площадью круга с радиусом 4 => Sкр = pi * R^2 = 50,26548246

Ну и находим площадь этой "звездочки" - S = 64 - 50,26548246 = 13,73451754

Ответ: 13,73451754

Слишком большое задание, для 15 баллов конечно... :)