Производные предлоги «в течение», «в продолжение» пишутся с буквой «е» на конце, имеют временное значение и употребляются с существительным в Родительном падеже. Предлог можно заменить другим предлогом-синонимом:  «на протяжении (какого-либо времени)». Отвечают на вопрос «КОГДА?».

Сочетание предлога и существительного  

1) «в течении».

В (чём?) - «в течении». Существительное «течение» стоит в Предложном падеже и имеет значение «направление движения воды». Между предлогом и существительным можно вставить какое-нибудь прилагательное: «в быстром течении реки».

2) «в продолжении».

В чём? - «в продолжении». Существительное «продолжение» стоит в Предложном падеже. Между предлогом и существительным можно вставить какое-нибудь прилагательное: «в увлекательном (захватывающем) продолжении романа».

1. Шли по долине в течение целого дня.  

(Когда? - в течение дня. Имеет временное значение, значит, это предлог.)

2. В течении реки следует опасаться водоворотов.  

(В чём? - «в течении реки» - сущ. в П.п. с предлогом. Между предлогом и существительным можно вставить какое-нибудь прилагательное: «в быстром течении реки»)

3. В течение дня река неузнаваемо изменилась.  

(Когда? - в течение дня. Имеет временное значение, значит, это предлог.)

4. В продолжении романа появляются новые герои.  

(В чём? - «в продолжении» - сущ. в П.п. с предлогом. Между предлогом и существительным можно вставить какое-нибудь прилагательное: «в увлекательном (захватывающем) продолжении романа»)

5. В продолжение часа слышались шорох и шёпот.  

(Когда? - «в продолжение» - предлог)