Verified answer

Ответ:

Можно рассматривать два случая, когда выражение под знаком модуля неотрицательное, и когда оно отрицательное. Но есть давно доказанный факт, что если    , то это неравенство равносильно двойному неравенству      .

Ответ:  количество целых решений равно 6, это   -1 , 0 , 1 , 6 , 7 , 8 .

Наибольшее целое решение равно 8. Произведение 6*8=48 .

Ответ:

2) 48

Объяснение:

Надо решить неравенство с модулем

|x^2 - 7x| ≤ 8

Сначала нужно найти, где выражение под модулем положительно, а где отрицательно.

1) x^2 - 7x < 0

x(x - 7) < 0

x € (0; 7)

При этих х выражение под модулем отрицательно, значит:

|x^2 - 7x| = 7x - x^2

Подставляем это в наше неравенство. Запишем систему:

{ x € (0; 7)

{ 7x - x^2 ≤ 8

Переносим всё направо:

{ x € (0; 7)

{ 0 ≤ 8 + x^2 - 7x

Запишем неравенство в более привычном виде:

x^2 - 7x + 8 ≥ 0

Находим корни левой части:

D = 7^2 - 4*1*8 = 49 - 32 = 17

x1 = (7 - √17)/2 ≈ 1,44 € (0; 7)

x2 = (7 + √17)/2 ≈ 5,56 € (0; 7)

Решение неравенства:

(-oo; (7-√17)/2] U [(7+√17)/2; +oo)

Обе точки х1 и х2 принадлежат промежутку (0; 7), поэтому, с учётом 1 условия:

x € (0; (7-√17)/2] U [(7+√17)/2; 7)

2) Вернёмся к нашему выражению под модулем.

x^2 - 7x ≥ 0

Здесь решение будет дополнением к решению из 1 части:

x € (-oo; 0] U [7; +oo)

При этих х выражение под модулем неотрицательно, поэтому:

|x^2 - 7x| = x^2 - 7x

Опять пишем систему:

{ x € (-oo; 0] U [7; +oo)

{ x^2 - 7x ≤ 8

Переносим 8 налево:

{ x € (-oo; 0] U [7; +oo)

{ x^2 - 7x - 8 ≤ 0

Находим корни левой части неравенства:

D = 7^2 - 4*1(-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2

x3 = (7-9)/2 = -1 € (-oo; 0]

x4 = (7+9)/2 = 8 € [7; +oo)

Решение неравенства:

x € [-1; 8]

Обе точки принадлежат нужным промежуткам, поэтому, с учётом 1 условия:

x € [-1; 0] U [7; 8]

Итак, по результату обоих пунктов, мы получили следующее решение:

x € [-1; 0] U (0; (7-√17)/2] U [(7+√17)/2; 7) U [7; 8]

Некоторые отрезки можно объединить:

x € [-1; (7-√17)/2] U [(7+√17)/2; 8]

Теперь читаем задание:

Найти произведение наибольшего целого решения на количество целых решений.

Наибольшее целое решение: 8, потому что за ней стоит квадратная скобка.

Если бы скобка была круглая, то 8 не входило бы, тогда наибольшее было бы 7.

Как мы уже посчитали, (7-√17)/2 ≈ 1,44; (7+√17)/2 ≈ 5,56, поэтому список всех целых решений такой:

-1; 0; 1; 6; 7; 8.

Всего целых решений ровно 6, поэтому нужное нам произведение:

8*6 = 48