Попробуем решать задачу от обратного. Представим, что АВСD -- параллелограмм.

А                     В

      D                      C

А и С -- противоположны, а значит, что  векторы ОА и АС лежат на одной прямой. Тоже самое с векторами OD и OB. Поскольку в параллелограмме диагонали (на которых предположительно лежат наши векторы) не равны, то значит что OA+OC = OB + OD может быть верно, только если сумма каждой пары равна нулю. А это значит, что векторы OA, OC и OB, OD равны между собой по длине и противоположны и понаправлению, а это значит, что О -- центр параллелограмма.

Всё сошлось. Если кратко, то равество будет верным только тогда, когда АВСD будет параллелограммом.

Надеюсь, что не слишком сложно