В знаменателе суммируются члены, знаменатель которых, в свою очередь, является суммой арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и шагом прогрессии 1. Найдём эту сумму:
Значит, каждый член в знаменателе можно представить так:
, где n = 1, 2, 3, ...
Пробуем вычислять сумму первых членов n=1; ;
n=2;
n=3;
n=4;
Продолжая таким образом, замечаем, что
Докажем этот факт методом математической индукции. Первый шаг у нас уже сделан, проверка на первых членах прошла. Предполагаем, что формула верна для n. Докажем, что формула верна для (n+1). (n+1)-й член имеет вид Прибавим его к предполагаемой сумме:
Последнее выражение и есть сумма (n+1) членов, если в формулу: вместо n подставить (n+1).
Answers & Comments
Verified answer
В знаменателе суммируются члены, знаменатель которых, в свою очередь, является суммой арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и шагом прогрессии 1. Найдём эту сумму:Значит, каждый член в знаменателе можно представить так:
Пробуем вычислять сумму первых членов
n=1;
n=2;
n=3;
n=4;
Продолжая таким образом, замечаем, что
Докажем этот факт методом математической индукции. Первый шаг у нас уже сделан, проверка на первых членах прошла. Предполагаем, что формула верна для n. Докажем, что формула верна для (n+1).
(n+1)-й член имеет вид
Прибавим его к предполагаемой сумме:
Последнее выражение и есть сумма (n+1) членов, если в формулу:
вместо n подставить (n+1).
Итак, находим сумму 2013 членов:
Наконец, вычисляем всё выражение
Всё.