Verified answer

Дано:

ΔABC

AL - биссектриса

P ∈ AC

LA - биссектриса ∠BLP

BL = CP

Доказать:

∠ABC = 2∠BCA (в ΔABC ∠B = 2∠C)

Доказательство: (см. чертеж!)

1. рассмотрим ΔABL, ΔALP: ∠1 = ∠2 (по условию), ∠3 = ∠4 (по условию), AL - общая ⇒ ΔABL = ΔALP (по стороне и двум прилежащим к ней углам) ⇒ BL = LP, ∠B = ∠P

2. BL = CP (по условию), BL = LP (доказано в п. 1) ⇒ CP = LP ⇒ ΔLPC - равнобедренный ⇒ в этом треугольнике ∠L = ∠C

∠APL - внешний для ΔLPC ⇒ ∠APL = ∠L + ∠C = 2∠C;

но ∠APL = ∠B (доказано в п. 1) ⇒ ∠B = 2∠C, что и требовалось доказать.