Даю много баллов!!!!!
Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, совпадает с серединой дуги ВС, расположенной внутри треугольника.
Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник АВС, совпадает с серединой дуги ВС, расположенной внутри треугольника.
Answers & Comments
Verified answer
Отрезки касательных из точки вне окружности до точки касания с ней равны.Следовательно, треугольник АВС равнобедренный и ∠ АВС=∠АСВ.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
ВК и СМ - биссектрисы равных углов В и С соответственно.
Угол АВК равен половине угла АВС, и, следовательно, равен четверти дуги, заключенной между сторонами угла АВС, поэтому ВК пересекает дугу ВС в ее середине.
Аналогично СМ пересекает дугу ВС в ее середине.
Середина дуги ВС - точка пересечения биссектрис треугольника АВС и потому является центром вписанной в ∆ АВС окружности, что и требовалось доказать.