1 случай

x−1=ax, х>=1

x-ах=1, х>=1

x-ах=1, х>=1

(1-а)x=1, х>=1

если а=1, то нет корней

если а<>1, то х=1/(1-а)

но х>=1

значит 0<1-а<=1

-1<-а<=0

0<=а<1

итого, лишь при 0<=а<1 1 корень, иначе нет корней

2 случай

x−1=-ax, х<1

x+ax=1, х<1

(1+a)x=1, х<1

если а=-1, то нет корней

если а<>-1, x=1/(1+a), х<1

но х<1

значит, 1+a<0 или 1+a>1

a<-1 или a>0

итого, лишь при a<-1 или a>0 1 корень, иначе нет корней

между прочим, всего по двум случаям один корень при a<-1, a=0 и а>=1

ответ: a<-1, a=0 и а>=1

Ответ: (-∞; -1) ∪ {0} ∪ [1; +∞)

Объяснение:

Рассмотрю графический способ решения. Будет много пояснений для лучшего понимания.

1. Построение графика уравнения

Построим графики левой и правой части уравнения:

y₁ = |x - 1| -- обыкновенная функция без параметра

y₂ = ax -- прямая, проходящая через точку (0; 0), параметр которой влияет на угловой коэффициент прямой.

На рисунке 1 изображен график функции y₁, а также несколько вариантов функции y₂ при некоторых значениях параметра a.

Количество пересечений зелёной и оранжевой функции -- это количество корней уравнения. Далее сразу будем говорить про количество корней.

Заметим, что возможно три случая: 0, 1 или 2 корня (рис.1). Будем искать те области, в которых ровно один корень.

2. Поиск границ областей

Сразу отмечу, что внутри какой-либо области все варианты функции y₂ = ax будут иметь одинаковое количество корней. Их примерно количество и "размеры" можно найти, если построить много вариантов и проанализировать их (по рис.1 понятно, что областей не меньше трёх)

Пробуя разные значения параметров, выделим частные случаи прямой y = ax.

Обычно это прямые, которые либо параллельны какой-либо части графика функции или асимптотам, либо проходят через выколотые точки (точки разрыва), либо через основания/переломы функции. Выбор частных случаев (границ областей) сильно зависит от конкретной функции.

Для нашей функции это три прямые: при a = 1, a = -1 и a = 0 (рисунок 2). Проверим каждую границу на количество корней (частные случаи ведут себя по-особому, поэтому проверяется каждая отдельно). Получим, что при a = 1 и a = 0 уравнение имеет один корень.

3. Выделение и анализ областей

Три прямые разделили координатную плоскость на 6 "треугольников". Заметим, что проводя какую либо прямую y₂ = ax (кроме границ), она будет лежать в двух таких "треугольниках". Поэтому всего областей будет 3 (рисунок 3, на нём заштрихована только одна область, остальные аналогично похожи на песочные часы).

Теперь проанализируем на количество корней каждую область.

Для этого достаточно провести одну прямую внутри области. Если есть сомнения в правильности областей, то проводим несколько прямых, делаем вывод. На рисунке 3 схематично изображён каждый случай.

В итоге получим, что нам подходит только область 2.

4. Определение значений параметра а

Чтобы определить значение параметра а в указанной области, нужно хорошо понимать, как влияет угловой коэффициент прямой y₂ = ax.

Можно рассматривать частные случаи, например y = 2x, y = 1/2x и смотреть, где они лежат.

Получим, что в области 2 лежат прямые, которые имеют угловой коэффициент от 1 до бесконечности (правая часть) и от минус бесконечности до -1 (левая часть). Если кратко a ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

Учтём частные случаи, найденные в пункте 2 и запишем ответ:

a ∈ (-∞; -1) ∪ {0} ∪ [1; +∞)