Ответ:

[tex]\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ x=-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2\pi k}{3};\ x=\dfrac{7\pi}{18}+\dfrac{2\pi m}{3};\ n,\ k,\ m\in Z.[/tex]

Объяснение:

Нам понадобится формула

                     [tex]\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}.[/tex]

В нашем случае  [tex]\alpha=4x;\ \beta=2x.[/tex] Получаем уравнение

           [tex]2\sin 3x\cdot \cos x+\cos x=0;\ \cos x(2\sin 3x+1)=0;\ \left [ {{\cos x=0} \atop {2\sin 3x+1=0}} \right. .[/tex]

1) [tex]\cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\ n\in Z.[/tex]

2) [tex]2\sin 3x=-1;\ \sin 3x=-\dfrac{1}{2};\ \left [ {{3x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k} \atop {3x=\frac{7\pi}{6}+2\pi m}} \right.;\ \left [ {{x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}} \atop {x=\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi m}{3}}} \right. .[/tex]

Замечание. Можно было бы попробовать решать по-другому: трижды воспользовавшись формулой для синуса двойного угла

                                 [tex]\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cdot\cos\alpha[/tex]

и один раз формулой для косинуса двойного угла

                                     [tex]\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha,[/tex]

получаем уравнение

  [tex]2\sin x\cdot \cos x+4\sin x\cdot \cos x\cdot (1-2\sin^2 x)+\cos x=0.[/tex]

Далее имеем

                          [tex]\cos x(6\sin x-8\sin^3 x+1)=0,[/tex]

а поскольку

                            [tex]3\sin x-4\sin^3 x=\sin 3x,[/tex]

получаем то же уравнение, что и раньше.