Ответ:

1. D(y) = (-∞; 1)∪(1; +∞)

2. функция не является четной или нечетной, непериодична.

3.  пересечение с осью 0х: (-0,5; 0); с осью 0у: (0; -1)

y > 0 при х ∈ (-∞; -0,5] ∪ (1; +∞)

у < 0 при х ∈ [-0,5; 1)

4.  x = 1 - вертикальная асимптота.;

y = 2 - горизонтальная асимптота.

5. Функция убывает на промежутках: (-∞; 1); (1; +∞)

Экстремумов нет.

6. Выпукла: (-∞; 1)

Вогнута: (1; +∞)

Точек перегиба нет.

Объяснение:

Исследуйте функцию и построить график функции

[tex]\displaystyle y= \frac{2x+1}{x-1}[/tex]

1. Область определения функции.

Знаменатель не равен нулю.

х - 1 ≠ 0

х ≠ 1

D(y) = (-∞; 1)∪(1; +∞)

2. Четность, нечетность, периодичность.

Если у(-х) = у(х) - функция четная; если у(-х) = -у(х) - функция нечетная.

[tex]\displaystyle y(-x)=\frac{2\cdot(-x)+1}{-x-1}=\frac{-2x+1}{-x-1} \\\\[/tex]

y(-x) ≠ y(x) ≠ -y(x) ⇒ функция не является четной или нечетной.

Если y(x + T) = y (x) - функция периодична.

 [tex]\displaystyle y(x+T)=\frac{2(x+T)+1}{x+T-1} =\frac{2x+2T+1}{x+T-1}[/tex]

y(x + T) ≠ y (x) ⇒ функция непериодична.

3. Пересечение с осями, промежутки знакопостоянства.

1) с осью 0х   ⇒   у = 0

[tex]\displaystyle \frac{2x+1}{x-1}=0\\\\x=-\frac{1}{2}[/tex]

(-0,5; 0)

2) с осью 0у   ⇒   х=0

[tex]\displaystyle y=\frac{2\cdot0+1}{0-1} =-1[/tex]

(0; -1)

Найдем промежутки знакопостоянства.

у > 0; y <  0.

[tex]\displaystyle \frac{2x+1}{x-1} > 0;\;\;\;\;\;x\neq 1[/tex]

Решим методом интервалов.

х = -0,5; х ≠ 1

(см. вложение)

4. Асимптоты.

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x-1} =\infty[/tex]

⇒ x = 1 - вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: y = kx + b

[tex]\displaystyle k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x(x-1)} =0\\\\b=\lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)=\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} =\lim_{x \to \infty} \frac{2x+1}{x-1} =\\\\\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x}+\frac{1}{x} }{\frac{x}{x}-\frac{1}{x} } =2[/tex]

⇒ y = 2 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

[tex]\displaystyle y'=\frac{2(x-1)-(2x+1)\cdot1}{(x-1)^2} =\frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} =\frac{-3}{(x-1)^2}[/tex]

Производная отрицательна, значит функция убывает, в точке х = 1 - не существует.

Функция убывает на промежутках: (-∞; 1); (1; +∞)

Экстремумов нет.

(см. вложение)

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка.

[tex]\displaystyle y''=-3\cdot\left({-\frac{((x-1)^2)'}{(x-1)^4} }\right)=\frac{3\cdot2(x-1)}{(x-1)^4} =\frac{6}{(x-1)^3}[/tex]

Вторая производная не существует в точке х = 1.

Рассмотрим знаки второй производной на промежутках.

Если вторая производная положительна, функция вогнута, отрицательна - выпукла.

Выпукла: (-∞; 1)

Вогнута: (1; +∞)

Точек перегиба нет.

(см. вложение)

Строим график.

#SPJ1