Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2√3 и составляет с боковым ребром угол 30°. Найдите объем параллелепипеда, если периметр его основания равен 2√5.
siestarjoki
AC лежит в плоскости основания, ребро СС1 прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания. Треугольник ACC1 - прямоугольный с углом 30°. AC=AC1/2 =√3 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы) CC1=AC√3 =3 (катет против угла 60° равен другому катету, умноженному на √3)
Answers & Comments
высота Н = 2√3 * cos(30) = 2√3 * 0,5 * √3 = 3
диагональ основания ВД = В1Д * sin(30) = 2√3 * 0,5 = √3
пусть стороны основания равны х и у
x^2 + y^2 = (√3)^2
2(x+y) = 2√5
решая систему, найдём стороны основания:
х = 0,5(√5 + 1)
у = 0,5(√5 - 1 )
объем: V = x*y*H = 0,5(√5 + 1)*0,5(√5 - 1)*3 = 3
AC=AC1/2 =√3 (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)
CC1=AC√3 =3 (катет против угла 60° равен другому катету, умноженному на √3)
Грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
P(ABCD) =2(AB+BC) =2√5 <=> AB+BC=√5
AB^2 +BC^2 =AC^2 <=>
(AB+BC)^2 =AC^2 +2AB*BC <=>
AB*BC =(5-3)/2 =1
Объем прямоугольного параллелепипеда равен призведению трех его измерений:
V=AB*BC*CC1 =3