Verified answer

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен h.

=============================================================

Первый способ:

Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. С учётом условия (∠АСD = 90°) получаем, что АD - диаметр описанной окружности. AD = 2h.

Если вписанный в окружность угол прямой, то он опирается на диаметр этой окружности.

Продолжим высоту СН трапеции до пересечения с описанной окружностью в точке Е. Диаметр окружности является серединным перпендикуляром по отношению к хорде СЕ ⇒ СН = НЕ, AD⊥CE ⇒ ΔACE - равнобедренный, АС = АЕ, ∠CAD = ∠EAD = α, ∠САЕ = 2α. Или можно ссылаться на симметрию относительно AD.

По теореме синусов: R = h = CE/2•sin2α = 2•CH/2•sin2α = CH/sin2α ⇒ CH = h•sin2α

Второй способ:

В ΔACD: cosα = AC/AD ⇒ AC = AD•cosα = 2h•cosα

В ΔАСН: sinα = CH/AC ⇒ CH = AC•sinα

Значит, СН = (2h•cosα) •sinα = h•sin2α

ОТВЕТ: h•sin2α