P.S. Я не впевнений, що задача розв'язана правильно. Якщо це так, то прошу вас повідомити мене, щоб я виправив відповідь...

Дано:

ABCD - рівнобічна трапеція (BC║AD)

Діагональ AC = 6 см

∠CAD = 42°, ∠BAD = 74°

Знайти:

AB, BC, CD та DA

Розв'язання:

Нехай точка M буде точкою перетину діагоналей, які розділяють трапецію на чотири трикутника, а саме ΔMAD, ΔMDC, ΔMCB та ΔMBA. Знайдемо усі кути цих трикутників та трапеції.

∠BAD + ∠CBA = 180° ⇒ ∠CBA = 180° - 74° = 106° (за властивістю рівнобічної трапеції, де сума кутів прилеглих до бічної сторони рівнобічної трапеції дорівнює 180°)

∠BAD = ∠CDA ⇒ 74° (за ознакою рівнобічної трапеції, що кути при основі рівні)

∠CBA = ∠BCD ⇒ 106° (за ознакою рівнобічної трапеції, де кути при основі рівні)

∠MAD та ∠MAD = 42° (як кути при одній основі)

∠BAM = ∠CDM ⇒ 74° - 42° = 32°

∠DCM = ∠ABM ⇒ 180° - (42° + 74°) = 64° (за теоремою про суму усіх кутів трикутника, що дорівнюють  180°)

∠MCB = ∠MBC ⇒ 106° - 64° = 42°

∠AMD = ∠BMC (за властивостями діагоналей трапеції) ⇒ 180° - (42° + 42°) = 96° (за теоремою про суму усіх кутів трикутника, що дорівнюють  180°)

∠CMD = ∠BMA ⇒ 180° - (32° + 64°) = 84° (за теоремою про суму усіх кутів трикутника, що дорівнюють  180°)

Тепер розглянемо ΔMBA та ΔMCD у яких відповідні кути рівні, а саме:

∠BAM = ∠CDM ⇒ 32°

∠MBA = ∠MCD ⇒ 64°

∠BMA = ∠CMD ⇒ 84°

Також розглянемо ΔBMC та ΔAMD у яких також відповідні кути рівні, а саме:

∠MCB = ∠MDA ⇒ 42°

∠MBC = ∠MAD ⇒ 42°

∠BMC = ∠AMD ⇒ 96°

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники є рівними (перша ознака рівності трикутників). Тобто обидві пари трикутників (ΔMBA і ΔMCD, а також ΔBMC та ΔAMD) мають рівні елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо). Тоді звідси випливає, що BM, MD, AM та MC усі дорівнюють 3 см.

Якщо AM = MC ⇒ 3 см та BM = MD ⇒ 3 см, тоді ABCD - прямокутник. Тоді застосовуючи формулу сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут α дізнаємось сторону AB:

AB = sinα×d (діагональ AD) ⇒ AB = 0,669130606×6 ⇒ 4,01478364 ≈ 4 cм

Тепер розглянувши трикутник ABD, який має ∠A = 90°, за теоремою Піфагора знайдемо AD прямокутника:

BD² =  AB² + AD² ⇒ AD² = BD² - AB² ⇒ AD² = 6² - 4² ⇒ AD = 2√5 см

Отже, згідно з ознакою прямокутника, що протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину випливає:

AB = DC ⇒ 4 см

AD = BC ⇒ 2√5 см

Відповідь:

AB = 4 см, BC = 2√5 см, CD = 4 см та DC = 2√5 см.