Y``(x²+1)=2xy` (x²+1)*(dy(x)/dx²)=2x*(dy(x)/dx) Пусть dy(x)=v(x) ⇒ d²y(x)/dx²=dv(x)/dx Тогда (x²+1)*(dv(x)/dx)=2x*v(x) (dv(x)/dx)/v(x)=2x/(x²+1) Проинтегрируем обе части уравнения по х: ∫((dv(x)/dx/v(x))dx=∫(2x/(x²+1))dx ln(v(x))=ln(x²+1)+c ln(v(x))=ln(x²+1)+ln(c) ln(v(x))=ln(c*(x²+1)) v(x)=e^c*(x²+1) dy(x)/dx=c₁(x²+1) Проинтегрируем обе части уравнения по х: y(x)=∫(с₁(x²+1))dx=c₁(x³/3+x)+c₂=c₁(x³+3x)/3+c₂ Ответ: y(x)=c₁x³+3c₁x+c₂.
Answers & Comments
Verified answer
Y``(x²+1)=2xy`(x²+1)*(dy(x)/dx²)=2x*(dy(x)/dx)
Пусть dy(x)=v(x) ⇒ d²y(x)/dx²=dv(x)/dx
Тогда (x²+1)*(dv(x)/dx)=2x*v(x)
(dv(x)/dx)/v(x)=2x/(x²+1)
Проинтегрируем обе части уравнения по х:
∫((dv(x)/dx/v(x))dx=∫(2x/(x²+1))dx
ln(v(x))=ln(x²+1)+c
ln(v(x))=ln(x²+1)+ln(c)
ln(v(x))=ln(c*(x²+1))
v(x)=e^c*(x²+1)
dy(x)/dx=c₁(x²+1)
Проинтегрируем обе части уравнения по х:
y(x)=∫(с₁(x²+1))dx=c₁(x³/3+x)+c₂=c₁(x³+3x)/3+c₂
Ответ: y(x)=c₁x³+3c₁x+c₂.