Verified answer

а) Рассмотрим пирамиду СBDC1. В ее основании лежит правильный треугольник BDC1, образованный диагоналями граней куба. Боковые стороны пирамиды - стороны куба. Следовательно, вершина С этой пирамиды проецируется в центр О основания.

Рассмотрим пирамиду А1BDC1. В ее основании лежит правильный треугольник BDC1, образованный диагоналями граней куба. Боковые стороны пирамиды - так же диагонали граней  куба. Следовательно, вершина С этой пирамиды (правильного тетраэдра, так как все его ребра равны) проецируется в центр О основания.

Итак, точки А1, О и Р лежат на одной прямой, так как А1Р - прямая (дано), причем отрезок А1С этой прямой равен 3 (дано), а отрезок А1Р=4. Следовательно, отрезки А1О=ОР=2.

Таким образом,  прямоугольные треугольники (А1О и РО - высоты тетраэдров) равны: А1С1О=РС1О, A1DO=PDO, A1BO=PBO по двум катетам. Значит PC1=C1A1, PD=DA1 и РВ=ВА1 =>  все стороны тетраэдра РВDС1 равны диагоналям граней.

Итак, РBDC1 - правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) Длина отрезка АР - сторона треугольника АА1Р, в котором Cos(<AA1P)=AA1/A1С.

А1С - диагональ куба и равна 3 (дано). Диагональ куба равна а√3, где а - сторона куба. Отсюда АА1=3/√3=√3. тогда Cos(<AA1P)=√3/3.

По теореме косинусов: АР²=АА1²+А1Р²-2*АА1*А1Р*Cos(<АА1Р) или

АР²=3+16-2*√3*4*(√3/3) = 11.

Ответ:АР=√11.