Verified answer

Длина основание треугольника равна 14, а медианы, проведённые к боковым сторонам, равны 3√7 и 6√7. Найдите длины боковых сторон этого треугольника 

Пусть дан ∆ АВС, медианы АК и СМ, точка их пересечения - О.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда СО=2/3·СМ=2√7, 

AO=2/3·АК=4√7, 

ОК=1/3·АК=2√7

По т.косинусов 

АС²=АО²+СО²-2*АО*СО*cos ∠АОС

cos ∠АОС=(АС²-АО²+СО²):(-2*АО*СО)

cos ∠АОС=[14²-(4√7)²-(2√7)²]:[-2*(4√7)*(2√7]

cos ∠АОС= -56:2*56= -1/2 - это косинус 120º

Рассмотрим ∆ КОС.

ОК=OC=2√7 (см. выше)

⇒ КОС- равнобедренный. 

∠ КОС =∠КОА-∠АОС=180º-120º=60º ⇒ ∆ СОК - правильный, 

КС=2√7

BC=2KC=4√7

Из ∆ АМО 

АМ²=МО+АО-2*МО*АО*cos∠АОМ

АМ²=(√7)²+(4√7)²-2*(√7)*(4√7)*1/2*cos∠АОМ

АМ²=7+16*7-2*4*7*1/2

АМ²=7+16*7-4*7=7(1+16-4)=91

АМ=√91

AB=2√91

----------

Можно продлить медианы на их длину ( см. рис) и достроить треугольник до параллелограммов АВА₁С и АСВС₁

По свойству диагоналей параллелограмма 

АА₁²+ВС²=2(АВ²+АС²)

и

СС₁²+АВ²=2(АС²+ВС²)

Пусть АВ=с, ВС=а

Тогда можно составить систему уравнений:

|(2*6√7)²+a²=2(c²+14²)

|(2*3√7)²+c²=2(14²+a²)

Решив систему, получим АВ=2√91,  BC=4√7