Verified answer

Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC=5.
угол между ребром и плоскостью основания пирамиды равен 30 градусов.
Найдите длину стороны основания АВ пирамиды

Начнем с рисунка, хотя можно и без него обойтись, если помнить, как выглядит такая пирамида.
Основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний треугольник АВС.
Все его стороны равны, все его углы равны 60°.
Сторона такого треугольника, выраженная через высоту АН, равна
АС=АВ=АН:cos(60°)
Нужно  для нахождения АС найти АН
Рассмотрим рисунок. Высота SO пирамиды с частью АО высоты основания и ребром составляет прямоугольный треугольник, в котором катет SO противолежит углу 30°,⇒
АО=SO:tg30°
tg (30°) = (√3)/3 = 1/√3
АО=5:1/√3=5√3
Основание О высоты SO правильной треугольной пирамиды лежит в точке пересечения медиан ( высот, биссектрис правильного треугольника) и находится, как точка пересечения медиан всех треугольников,  на расстоянии 2/3 от вершины угла.
Следовательно, 2/3 высоты треугольника в основании равно 5√3
Вся высота основания равна
АН=( 5√3):2)·3=7,5√3
АВ=АС=АН:cos(60)=(7,5√3)·2:√3=15