Verified answer

Ответ:

Длина стороны АС равна 8 ед.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти длину стороны АС, если длины сторон треугольника АВС - целые числа.

Дано: ΔАВС;

N ∈ BC; BN : NC = 1 : 2;

M ∈ AC; BM - биссектриса угла АВС;

ВМ ⊥ AN; ВМ ∩ AN = O;

P (ΔABC) = 20

Длины сторон - целые числа.

Найти: АС.

Решение:

1. Пусть BN = x, тогда NC = 2x.

2. Рассмотрим ΔАВN.

ВО - биссектриса (условие)

ВМ ⊥ AN ⇒ ВМ - высота (условие)

• Если в треугольнике высота является биссектрисой, то этот треугольник  равнобедренный.

⇒ ΔАВN - равнобедренный.

АВ = BN = x

3. Рассмотрим ΔАВС.

ВМ - биссектриса.

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

То есть:

    или      

Пусть АМ = а, тогда МС = 3а.

4. Р (ΔАВС) = АВ + ВС + АС = 20 ед.

х + 3х + (а + 3а) = 20

4х + 4а = 20

4 (х + а) = 20

х + а = 5     (1)

5. АС = Р (ΔАВС) - АВ - ВС = 20 - х - 3х = 20-4х

• Длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон.

⇒ АС < AB + BC

20 - 4x < x + 3x

20 < 8x     |:4

5 < 2x

x > 2,5     (2)

6. Учитывая равенство (1) и неравенство (2), зная что х - целое число, можно сделать вывод:

х = 3 или х = 4

7. Проверим х = 3.

АВ = 3, тогда ВС = 3х = 3 · 3 = 9.

АС = 20 - 3 - 9 = 8

Проверим, соблюдается ли неравенство треугольника:

AB < ВC + AC     или    3 < 9 + 8      Верно.

ВС < AB + AC     или    9 < 3 + 8      Верно.

АС < AB + BC     или    8 < 3 + 9      Верно.

⇒ х = 3 - подходит.

8. Проверим х = 4

АВ = 4, тогда ВС = 4 · 3 = 12

АС = 20 - 4 - 12 = 4

Проверим, соблюдается ли неравенство треугольника:

AB < ВC + AC     или    4 < 12 + 4      Верно.

ВС < AB + AC     или    12 < 4 + 4      НЕверно.

⇒ х = 4 - НЕ подходит.

Длина стороны АС равна 8 ед.