Для четырехугольника ABCD справедливы равенства AB=BC=CD и AD=AC=BD. Найдите меньший угол четырехугольника (в градусах).
Answers & Comments
Matulia54 Углы АВС и ВСD - тупые, углы BAD и CDA - острые. Нужно найти наименьший ОСТРЫЙ угол.
Δ DBC- равнобедренный (BC=DC) => ∠CBD=∠CDB=∠α Δ ABC- равнобедренный (AB=BC) и он = Δ DBC (по 3 сторонам: AB=DC, АС=ВD, ВС- общая сторона) => ∠BAC=∠BCA=∠α.
Δ DBА- равнобедренный (DB=DA) => ∠BAD=∠DBA=∠β Δ ADC- равнобедренный (AD=BD) и он = Δ DBA по 3 сторонам: AB=DC, АС=ВD, DA- общая сторона) => ∠DCA=∠CDA=∠β.
В четырехугольнике АВСD cумма углов ∠β+(∠α+∠β)+(∠α+∠β)+∠β=360° или 2∠α+4∠β=360°, откуда ∠α=(360°-4∠β):2=180°-2∠β.
В Δ ABC cумма углов ∠α+(∠β+∠α)+∠α=180° => 3∠α+∠β=180°. Подставим ∠α=180°-2∠β и получим, что 3(180°-2∠β)+∠β=180°, откуда 5∠β=2*180° ∠β=360°:5=72°.
4 votes Thanks 5
Matulia54
Ну, и сколько же градусов меньший угол? Все равно 72? Так решать МОЖНО по-разному... Можно было сказать, что треугольники AВC и BCD равны, треугольники ABD и АCD равны... Каким путем не идти, придем к ТОМУ ЖЕ результату - 72 градуса.
Matulia54
Возьми циркуль и проверь ПОСТРОЕНИЕМ...Отложи АД=14,5 см и из точек А и Д радиусом =14,5 см провели дуги. Затем радиусом 9 см проведи из точек А и Д дуги. Точки пересечения обозначь В и С.
Matulia54
Измерь (есть небольшая погрешность) ВС=9 см и угол ВАД=72 градуса. Размеры 14,5 и 9 - произвольные, но при 72 градусах они "работают". А у тебя КАК получилось 30 градусов при основании? Дай СВОИ размеры (при АВ=ВА=СД= ... см будут размеры АС=АД=ВД=... см с углом при основании 30 градусов).
Answers & Comments
Углы АВС и ВСD - тупые, углы BAD и CDA - острые. Нужно найти наименьший ОСТРЫЙ угол.
Δ DBC- равнобедренный (BC=DC) => ∠CBD=∠CDB=∠α
Δ ABC- равнобедренный (AB=BC) и он = Δ DBC (по 3 сторонам: AB=DC, АС=ВD, ВС- общая сторона) => ∠BAC=∠BCA=∠α.
Δ DBА- равнобедренный (DB=DA) => ∠BAD=∠DBA=∠β
Δ ADC- равнобедренный (AD=BD) и он = Δ DBA по 3 сторонам: AB=DC, АС=ВD, DA- общая сторона) => ∠DCA=∠CDA=∠β.
В четырехугольнике АВСD cумма углов ∠β+(∠α+∠β)+(∠α+∠β)+∠β=360° или 2∠α+4∠β=360°, откуда ∠α=(360°-4∠β):2=180°-2∠β.
В Δ ABC cумма углов ∠α+(∠β+∠α)+∠α=180° => 3∠α+∠β=180°.
Подставим ∠α=180°-2∠β и получим, что 3(180°-2∠β)+∠β=180°, откуда 5∠β=2*180°
∠β=360°:5=72°.