Verified answer

ОДЗ: x > 0, x - 3a > 0.

Приводим все логарифмы к одинаковому основанию по формуле :

Переписываем логарифм частного как разность логарифмов и раскрываем квадрат разности:

Получили разность квадратов. Раскладываем на множители:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит, уравнение выше на ОДЗ эквивалентно совокупности двух уравнений:

Перед тем, как идти дальше, хочется отметить, что если x > 0, то из равенств выше автоматически x - 3a > 0. Значит, при отборе корней можно будет проверить только неравенство x > 0, второе неравенство из ОДЗ будет выполнено, если выполнено первое.

Решаем дальше:

– первое уравнение совокупности:

x - 3a = x

3a = 0

a = 0

Если a = 0, то решение – x ∈ R (с учетом ограничений ОДЗ x > 0)

– второе уравнение совокупности:

Нужно проверить, при каких a найденное решение удовлетворяет ОДЗ.

1)

Если a > 0, неравенство выполняется: левая часть положительна, правая отрицательная.

Пусть a < 0, тогда обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат

Это неравенство выполнено также при всех a.

2)

Аналогично первому корню, можно проверить, что этот корень отрицательный при всех a, и поэтому не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: все x > 0 при a = 0, при a ≠ 0.