Для любого ли натурального числа a существует неотрицательное целое k, для которого существует неотрицательное целое s такое, чтобы выполнялось неравенство на фото?
1) нацепление двоичного логарифма на все 3 куска неравенства
2) преобразование логарифма произведения в сумму логарифмов в левой и правой части, с последующим вычитанием логарифма от 5^к из всех 3 частей
3) подведение всех 3 частей к степени двойки
получаем такое неравенство:
а < 2^(s-k*log_2(5)) < a+1
Теперь сильное утверждение: любое число можно приблизить сколь угодно сильно, используя лишь s-k*log_2(5), увеличивая s и k до нужного порядка.
Тогда мы всегда можем найти такие k и s, что б двойка в оной степени подходила под наше неравенство, ибо мы можем приблизить любую действительную степень, значит и любое число после возведения двойки в эту степень.
2 votes Thanks 1
AhahaStudio
Спасибо, но у меня всё ещё вопрос, почему сильное утверждение действительно верно? Почему s и k всегда можно достаточно увеличить, учитывая что они натуральные, чтобы имело место а < 2^(s-k*log_2(5)) < a+1 для любого натурального а. С вещественными s и k проблем нет. Достаточно, чтобы 2^(s-k*log_2(5)) было средним арифметическим a и (a+1). Понятно, что такие вещественные s и k найдутся. А почему натуральные найдутся?
viva34
Сперва превратим ту сосиску в еще более симпатичную. пусть s = k + d, где d - целое. Перепишем в виде k+d-k*log = d + k(1-log). Далее, нужное свойство называется плотностью множества, здесь - всюду плотностью. Строго это доказать проблематично, но эмпирик должно быть достаточно. Число из нашей конструкции - иррациональное. Теперь представьте, что мы берем окружность длины 1, и начинаем отсчитывать длину дуги, которая соответствует нашему числу, при фиксированном d.
viva34
Увеличивая k будем на этой окружности отмечать точки. Ну и соль в том, что никакие 2 точки никонда не совпадут, и цикл тоже никогда не замкнетсч в силу иррациональности.
viva34
В итоге окружность будеи замощаться все плотнее и плотнее, приближая любой нужный угол. То есть, что б получить нужную нам длину дуги, то есть число от 0 до 1, нужно накрутить сколько-то раз число k, а потом вычесть количество прокруток, что есть числом натуральным. И таким образом можно приближение любого числа получить
viva34
естт стойкие подозрения, что эту задачку можно как-то хитро решить, не прибегая к подобным рассуждениям. но так красивее, наверное)) а другого пути я не придумал
AhahaStudio
не так строго, как хотелось бы. но оооооочень красиво) спасибо огромное
Answers & Comments
Несколько шагов, которые я не расписываю:
1) нацепление двоичного логарифма на все 3 куска неравенства
2) преобразование логарифма произведения в сумму логарифмов в левой и правой части, с последующим вычитанием логарифма от 5^к из всех 3 частей
3) подведение всех 3 частей к степени двойки
получаем такое неравенство:
а < 2^(s-k*log_2(5)) < a+1
Теперь сильное утверждение: любое число можно приблизить сколь угодно сильно, используя лишь s-k*log_2(5), увеличивая s и k до нужного порядка.
Тогда мы всегда можем найти такие k и s, что б двойка в оной степени подходила под наше неравенство, ибо мы можем приблизить любую действительную степень, значит и любое число после возведения двойки в эту степень.