Для выражения A*sinx+B*cosx справедливо равенство A*sinx+B*cosx=√(A²+B²)*sin(x+arctg(B/A)). В нашем случае A+B=1, поэтому A²+B²=2,√(A²+B²)=√2, arctg(B/A)=arctg(1)=π/4. Значит, sinα+cosα=√2*sin(α+π/4), тогда √2/2*(sinα+cosα)=sin(α+π/4). Но для любого x справедливо равенство -1≤x≤1, поэтому действительно -1≤sin(α+π/4)≤1. Утверждение доказано.
Answers & Comments
Verified answer
Для выражения A*sinx+B*cosx справедливо равенство A*sinx+B*cosx=√(A²+B²)*sin(x+arctg(B/A)). В нашем случае A+B=1, поэтому A²+B²=2,√(A²+B²)=√2, arctg(B/A)=arctg(1)=π/4. Значит, sinα+cosα=√2*sin(α+π/4), тогда √2/2*(sinα+cosα)=sin(α+π/4). Но для любого x справедливо равенство -1≤x≤1, поэтому действительно -1≤sin(α+π/4)≤1. Утверждение доказано.