Доказать, что унитарные матрицы образуют группу.. Created by animal2016perfe. matematika-ru

1) Пусть - унитарные матрицы, - эрмитово сопряженные к ним. Тогда верны равенства Покажем, что - унитарная матрица: Значит, произведение унитарных матриц - также унитарная матрица. 2) Ассоциативность умножения очевидна [оператор * для матриц ассоциативен, и при этом произведение элементов рассматриваемого мн-ва также принадлежит этому мн-ву]3) , при этом Значит, - нейтральный элемент рассматриваемого мн-ва4) Для любой унитарной матрицы обратной является эрмитово сопряженная, которая и сама (из определения унитарной матрицы) является унитарной. Значит, для любой матрицы в мн-ве будет существовать обратная к ней Это и означает, что унитарные матрицы образуют группу относительно умноженияЧ.т.д.

Доказать, что унитарные матрицы образуют группу...

animal2016perfe @animal2016perfe

July 2022 1 1 Report

Доказать, что унитарные матрицы образуют группу.

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

1) Пусть $A,B$ - унитарные матрицы, $A^*,B^*$ - эрмитово сопряженные к ним. Тогда верны равенства $AA^*=A^*A=BB^*=B^*B=E$

Покажем, что $AB$ - унитарная матрица:

$AB(AB)^*=ABB^*A^*=AEA^*=AA^*=E$

Значит, произведение унитарных матриц - также унитарная матрица.

2) Ассоциативность умножения очевидна [оператор * для матриц ассоциативен, и при этом произведение элементов рассматриваемого мн-ва также принадлежит этому мн-ву]

3) $E^{-1}=E=E^*$ , при этом $UE=EU=U$