Теорема 1:

Пусть на плоскости даны три окружности, которые имеют общие точки (все три). Тогда общие хорды каждой пары окружностей, соединяющие общие точки этой пары, пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Каждая пара сфер пересекается по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной плоскости альфа, которая проходит через центры окружностей. Каждая пара этих окружностей имеет общие точки. Следовательно, все три окружности имеют общие точки. Таких точек две, причем они расположены на перпендикуляре к плоскости альфа симметрично относительно ее. Точка пересечения трех хорд окружностей — точка пересечения этого перпендикуляра и плоскости альфа.

Теорема 2:

Пусть на плоскости даны три окружности, каждая из которых не лежит целиком внутри ни одной из остальных. Тогда точки пересечения внешних касательных, проведенных к каждой паре окружностей, лежат на одной прямой.

Доказательство:

Рассмотрим три сферы с центрами в центрах данных окружностей, радиусы которых равны радиусам этих окружностей. Плоскость альфа, касающаяся всех трех сфер, пересекает данную плоскость бета (ту, которая проходит через центры окружностей) по прямой l. Тем самым, общие касательные к каждой паре окружностей, лежащие в плоскости альфа, пересекают l. Однако общие касательные к парам окружностям, лежащие в плоскости бета, проходят через точки пересечения рассмотренных касательных и l в силу симметрии.