Докажите, что 2*2^2+3*2^3+...+n*2^n=(n-1)*2^n+1. Created by babollhill. algebra-ru

Естественно, доказывается это методом математической индукции:1) При n = 2:Равенство верно, переходим к следующему шагу:2) Пусть при n = k равенство верно:3) Шаг индукции: докажем, что и при n = k + 1 равенство тоже верно:Мы пришли к равенству в пункте (2), которое предполагало, что при n = k равенство верно. Значит, для любых n ∈ N равенство также верно.

Докажите, что 2*2^2+3*2^3+...+n*2^n=(n-1)*2^n+1...

babollhill @babollhill

June 2022 1 14 Report

Докажите, что 2*2^2+3*2^3+...+n*2^n=(n-1)*2^n+1

Answers & Comments

Dимасuk

Verified answer

Естественно, доказывается это методом математической индукции:
1) При n = 2:
$2 \cdot 2^2 = (2 - 1) \cdot 2^{2 + 1} \\ 
2^3 = 1 \cdot 2^3 \\
8 = 8$
Равенство верно, переходим к следующему шагу:
2) Пусть при n = k равенство верно:
$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = (k - 1) \cdot 2^{k + 1}$
3) Шаг индукции: докажем, что и при n = k + 1 равенство тоже верно:
$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k + (k + 1) \cdot 2^{k + 1}= (k - 1 + 1) \cdot 2^{k + 1 + 1 } \\ 
2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k + (k + 1) \cdot 2^{k + 1}= k \cdot 2^{k + 2} \\ 
2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = k \cdot 2^{k + 2} - (k + 1) \cdot 2^{k + 1} \\ 
2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = 2k \cdot 2^{k + 1} - (k + 1) \cdot 2^{k + 1} \\ 
2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = 2^{k + 1} \cdot (2k - k - 1)\\ 



$
$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + k \cdot 2^k = (k - 1) \cdot 2^{k + 1}$
Мы пришли к равенству в пункте (2), которое предполагало, что при n = k равенство верно. Значит, для любых n ∈ N равенство также верно.

2 votes Thanks 1

ShirokovP так это не n = 1

ShirokovP а n = 2

ShirokovP причем тут n = 1

Answers & Comments

Verified answer

v korolevstve 20 gorodov nekotorye iz nih soedineny pryamymi aviarejsami izvest

v futbolnom turnire prohodyashem v odin krug kazhdaya komanda dolzhna sygrat s ka57360289885acb0410d68ec35a911128 93188

v chetyryohugolnike abcd na storone ab otmechena tochka f prichyom izvestno chto af

v treugolnike avs storony av i as ravny na storonah vs i as otmecheny sootvetsv

peremnozhili mnogochleny h42x33x24x5 i x32x23x4 kakoj koefficient pol

najdite naimenshee naturalno x pri kotorom iz togo chto 15m8n delitsya na 17

pisk komara imeet chastotu 10000 gc a v mychanii byka net zvukov s chastotoj bolsh

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social